La suma directa y el producto directo de infinitos grupos abelianos no son isomorfos

Question

Dejemos que $I$ sea un conjunto infinito, y para cada $i$ dejar $A_i$ sea un grupo abeliano de orden $o(A_i) \ge 2$ . Demostrar que el producto directo $\prod A_i$ y la suma directa (coproducto) $\bigoplus A_i$ no son isomorfas.

Aquí el producto y el coproducto se toman en la categoría de grupos abelianos. Así que un elemento del producto directo es una "lista" de un elemento de cada grupo, y un elemento del coproducto es una lista de este tipo en la que todos los términos, excepto los finitos, son cero.

Este problema apareció en un juego de problemas de álgebra hace un par de semanas y no he podido resolverlo ni entonces ni desde entonces. ¿Alguna idea?

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Una primera observación es que la suma directa es, por supuesto, un subgrupo del producto directo. Pero el producto directo también podría ser un subgrupo de la suma directa. Por ejemplo, supongamos que $I = \mathbb{N}$ y que $A_1 = B \times B \times B \times \cdots$ donde $B = A_2 \times A_3 \times A_4 \times \cdots$ . Entonces $$ \prod A_i = A_1 \times B = (B \times B \times B \times \cdots) \times B = A_1 \subset \bigoplus A_i $$

Esto hace que muchas de mis ideas fracasen; por ejemplo, no puedo confiar en que exista un conjunto generador de una determinada cardinalidad, ni puedo argumentar que haya una cardinalidad determinada de subgrupos, ni en general puedo hacer ningún tipo de argumento respecto al tamaño de los dos grupos.

También parece prometedor apelar directamente a las propiedades de los mapas universales que satisfacen el producto y el coproducto. El problema con el que me encontré en este caso fue que las proyecciones del producto directo al $A_i$ y las proyecciones inversas de la $A_i$ s a la suma directa no tienen por qué tener nada que ver entre sí. Además, este enfoque tendría que aprovechar de algún modo el hecho de que $I$ es infinito...

Answer 1

Un problema más natural sería decidir cuándo el morfismo canónico $\bigoplus_i A_i \to \prod_i A_i$ es un isomorfismo. Claramente, este es el caso si casi todos los $A_i$ son triviales. Fíjate que a menudo cuando la gente dice que $X,Y$ no son isomorfas, en realidad significan que un determinado morfismo canónico $X \to Y$ no es un isomorfismo.

La cuestión de si existe algún isomorfismo "aleatorio" entre $\bigoplus_i A_i$ y $\prod_i A_i$ no es tan natural, porque este isomorfismo puede simplemente ignorar las inclusiones y las proyecciones de la suma directa resp. el producto directo y por lo tanto puede ser "salvaje".

Sustituyamos por el momento la categoría de grupos abelianos por la categoría de espacios vectoriales sobre algún campo fijo $k$ . Dejemos que $V_i$ sea un espacio vectorial de dimensión infinita. Entonces se sabe ( MO/49551 ) que $\dim(\prod_i V_i)=\prod_i |V_i|$ , donde $|V_i|$ es la cardinalidad de (el conjunto subyacente de) $V_i$ . Evidentemente, también tenemos $\dim(\oplus_i V_i) = \sum_i \dim(V_i)$ . También es conocido ( SE/194281 ) que $|V_i|=\max(\dim(V_i),|k|)$ . Así que la pregunta es si $\bigoplus_i V_i$ y $\prod_i V_i$ son isomorfas en realidad sólo depende de la ecuación del número cardinal $\sum_i d_i = \prod_i \max(d_i,q)$ , donde $q=|k|$ y $d_i=\dim(V_i)$ . (¡Toda la estructura algebraica ha desaparecido!) Supongamos por el momento que $k$ es contable, es decir $q \leq \aleph_0$ . Entonces la ecuación se convierte en $\sum_i d_i = \prod_i d_i$ . Si $d:=d_i$ es constante y $|I|=\aleph_0$ la ecuación se convierte en $d = d^{\aleph_0}$ . Y esto es perfectamente posible, por ejemplo cuando $d=2^{\aleph_\alpha}$ . Por supuesto, también hay ejemplos en los que $d_i$ no es constante y donde $I,k$ son arbitrarios. (Por otro lado, para algunos cardenales $d$ la ecuación $d=d^{\aleph_0}$ podría ser independiente de ZFC)

Como ves, hay muchas familias de espacios vectoriales de dimensión infinita $V_i$ con $\bigoplus_i V_i \cong \prod_i V_i$ por ejemplo $V_i=\mathbb{R}$ sobre el campo base $\mathbb{Q}$ . En particular, sus grupos abelianos subyacentes son isomorfos, lo que contradice la afirmación. (Obsérvese que en realidad no se puede escribir este isomorfismo, y por lo tanto no tiene importancia práctica).