La desigualdad: $(a^3+a+1)(b^3+b+1)(c^3+c+1) \leq 27$

Question

Que sea $a,b,c \geq 0$ tal que: $a^2+b^2+c^2=3$ .
Pruébalo: $$(a^3+a+1)(b^3+b+1)(c^3+c+1) \leq 27.$$

Intento aplicar $GM \leq AM$ para $x=a^3+a+1$ , $y=b^3+b+1,z=c^3+c+1$ y $$\displaystyle \sqrt[3]{xyz} \leq \frac{x+y+z}{3}$$ pero todavía nada.

Gracias :-)

Answer 1

Dejemos que $u:=a^2, v:=b^2, w:=c^2$ tenemos $u+v+w=3$ .
Considere la función $$f(x)=\ln (1+x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{3}{2}}),\ 0<x\leq 3$$ es fácil calcular que $f''(x)<0$ .
por la desigualdad de Jensen, tenemos $$\sum\ln (1+u^{\frac{1}{2}}+u^{\frac{3}{2}})\leq3f(\dfrac{\sum u}{3})=3\ln 3$$ es decir $$\prod(a^3+a+1) \leq 27$$ Cuando se produce el máximo, tenemos $u=v=w\Rightarrow a=b=c$
Q.E.D.

Por cierto, dibujo un gráfico de $f''(x)$ en $(0,3]$ por la matemática para mostrarlo más directamente...

Answer 2

Solución final :

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=51&t=527572&p=2997801#p2997801

$$ (a-1)^4\geq0\Rightarrow a^3+a+1\leq\frac{(a^2+1)(a^2+5)}{4} $$

$$ \prod(a^3+a+1)\leq\frac{1}{64}\prod(a^2+1)\prod(a^2+5)$$

$$ \leq\frac{1}{64}\frac{(a^2+b^2+c^2+3)^3}{27}\frac{(a^2+b^2+c^2+15)^3}{27}=27 $$

Answer 3

Por si sirve de algo, esta respuesta utiliza derivados, pero utiliza un método de aplicación general.

Desde $a^2+b^2+c^2=3$ cualquier variación, $(\delta a,\delta b,\delta c)$ de $(a,b,c)$ debe satisfacer $$ a\,\delta a+b\,\delta b+c\,\delta c=0\tag{1} $$ Nos interesa encontrar el máximo de $$ \log(a^3+a+1)+\log(b^3+b+1)+\log(c^3+c+1)\tag{2} $$ En un punto crítico, las variaciones de $(2)$ debe satisfacer $$ \frac{3a^2+1}{a^3+a+1}\delta a+\frac{3b^2+1}{b^3+b+1}\delta b+\frac{3c^2+1}{c^3+c+1}\delta c=0\tag{3} $$ Argumentos estándar de linealidad dicen que si $(3)$ es cierto para todos los $(\delta a,\delta b,\delta c)$ que satisfagan $(1)$ tenemos $$ \left(\frac{3a^2+1}{a^3+a+1},\frac{3b^2+1}{b^3+b+1},\frac{3c^2+1}{c^3+c+1}\right)=k(a,b,c)\tag{4} $$ Eso es, $$ \frac{3a^2+1}{a^4+a^2+a}=\frac{3b^2+1}{b^4+b^2+b}=\frac{3c^2+1}{c^4+c^2+c}\tag{5} $$ Tenga en cuenta que $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{3x^2+1}{x^4+x^2+x} =-\frac{6 x^5+4 x^3-3 x^2+2 x+1}{(x^4+x^2+x)^2}\tag{6} $$ Si $x\ge1$ entonces $6x^5+4x^3\ge3x^2$ y si $0\le x\le1$ entonces $2x+1\ge3x^2$ . Por lo tanto, para todos los $x\ge0$ , $(6)$ es negativo. Es decir, $$ \frac{3x^2+1}{x^4+x^2+x}\tag{7} $$ es monótonamente decreciente, lo que, cuando se combina con $(5)$ , dice que $$ a=b=c\tag{8} $$ $(8)$ dice que $$ (a^3+a+1)(b^3+b+1)(c^3+c+1)=27\tag{9} $$ Condición $(8)$ supone que (a,b,c) no está en el límite, es decir, ninguno está $0$ . Supongamos que $c=0$ entonces el mismo argumento arroja que $a=b=\frac12\sqrt6$ y por lo tanto $$ (a^3+a+1)(b^3+b+1)(c^3+c+1)=\frac{83}{8}+\frac52\sqrt6\tag{10} $$ Supongamos que $b=c=0$ entonces $a=\sqrt3$ y por lo tanto $$ (a^3+a+1)(b^3+b+1)(c^3+c+1)=1+4\sqrt3\tag{11} $$ Comparación de $(9)$ , $(10)$ y $(11)$ el máximo es $27$ .

Answer 4

Comentario general: en cuanto se intenta utilizar AM-GM para $x=a^3+a+1,$ $y=b^3+b+1$ y $z=c^3+c+1$ la desigualdad se vuelve errónea, ya que $$a^3+a+b^3+b+c^3+c+3\ge 2(a^2+b^2+c^2)+3=9.$$ Utilizando los multijugadores de Lagrange, se puede reducir este problema al siguiente sistema: $$(3a^2+1)(b^3+b+1)(c^3+c+1)=2\lambda a$$ $$(3b^2+1)(a^3+a+1)(c^3+c+1)=2\lambda b$$ $$(3c^2+1)(a^3+a+1)(b^3+b+1)=2\lambda c.$$

En otras palabras, si $\lambda\ne 0,$ para la función $$f(x)=\frac{x(x^3+x+1)}{(3x^2+1)}$$ tenemos $f(a)=f(b)=f(c).$ Es fácil ver que $f$ es monótona para $x\ge 0$ por lo que la única opción es $a=b=c=1.$ El resto debería estar claro.

Answer 5

Esto tendrá derivados. Sustituya $a=\sqrt{x}, b=\sqrt{y}$ y $c=\sqrt{z}$ . Entonces $x+y+z=3$ . Considere la función $f(x)=\ln(x\sqrt{x}+\sqrt{x}+1)$ . Es cóncavo.

Por lo tanto, Jensen rinde: $f(x)+f(y)+f(z)<=3f(1)=3\ln{3}$

Esto equivale a lo que se pide.