Nombre de los reales aumentada con un $x$ tal que $x^2 = x$

Question

Si agrega un $x$ tal que $x^2=-1$ a las reales, obtienes los números complejos. Si agrega un $x$ tal que $x^2=0$ a las reales, obtienes el número dual. Si agrega un $x$ tal que $x^2=+1$ a las reales, obtienes los números complejos de split.

Si agrega un $x$ tal que $x^2=x$ a los reales, sale... ¿Qué? ¿Cuál es el nombre de ese sistema? Sabe usted, que donde $e^{a+bx} = e^a + (e^{a+b} - e^a)x$.

Answer 1

Si $x^2=x$, entonces

$$(2 x-1) ^ 2 = 4 x ^ 2-4 x + 1 = 4 x-4 x + 1 = 1$$

Así que realmente tienes los números complejos de split en disfraz.

Answer 2

De manera similar a la respuesta de Miqueas, pero mostrando una ismorphism $\Bbb{R}\times \Bbb{R}$, tenga en cuenta que

\begin{align} (a(1-x)+bx)(c(1-x)+dx) &= ac(1^2-2x+x^2)+(ad+bc)(x-x^2)+bdx^2 \\ &= ac(1-2x+x)+(ad+bc)(x-x)+bdx \\ &=ac(1-x)+bdx. \end {Alinee el}

Por lo tanto, la asignación a $\Bbb{R}\times \Bbb{R}$: $\varphi(a(1-x)+bx)=(a,b)$ conserva multiplicación. Es fácil mostrar que conserva además. Del mismo modo el núcleo debe ser trivial ya que if $\varphi(a(1-x)+bx)=0$, tenemos $a=b=0$, que $a(1-x)+bx=0$. Finalmente, este homomorfismo es trivial sobreyectiva. Cuenta que la asignación está bien definida puesto que $1-x$ $x$ forman una base.