¿Es necesario mostrar que las soluciones sólo de $u_y=(u_x)^3$ que son lisas en todo $\Bbb R^2$ son de la forma $ax+by+c$, alguien me podria ayudar por favor?
Respuesta
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Dmoreno
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El Lagrange-Charpit ecuaciones nos dicen que:
$$\frac{\mathrm{d}x }{3p^2} = \frac{\mathrm{d} y}{-1} = \frac{\mathrm{d}u }{3p^3-1} = -\frac{\mathrm{d} p}{0} = -\frac{\mathrm{d} q}{0}.$$
Así, a partir de las dos últimas fracciones, podemos concluir que:
$$ p = A, \quad q = B, \quad A,B \in \mathbb{R}. $$
Si por separado la integración de ambas ecuaciones$^1$, ya que el $p = \partial_x u$$q = \partial_y u$, se llega a:
\begin{align} u & = A x + \mu(y) \\ u & = B y + \eta(x) \end{align}
donde $\mu$ $\eta$ son algunas de las funciones de sus argumentos. Mirando este conjunto de condiciones se puede concluir que necesariamente se $\eta(x) = Ax$ $\mu(y) = B$ y por tanto:
$$ \color{blue}{u(x,y) = A x+ By}$$
Es hasta ahora para demostrar que cualquier función de la forma $\tilde{u} = u(x,y)+k$ también es una solución, donde $k$ es una constante.
Saludos!
$^1$: Por supuesto, usted puede tomar ventaja del hecho de que:
$$ \mathrm{d}u = p \, \mathrm{d}x + q \, \mathrm{d}y,$$
que es integrable desde $p$ $q$ son constantes. Su resultado inmediato de la siguiente manera.
