Hoy me he topado con una de las raíces infinitas de Ramanujan con todos los enteros y eso me ha despertado la curiosidad, así que me he puesto a intentar crear una propia. Empecé con $2=2$ . Entonces $$2=\sqrt4$$ Entonces $$2=\sqrt{1+3}$$ Entonces $$2=\sqrt{1+\sqrt{9}}$$ Entonces $$2=\sqrt{1+\sqrt{2+7}}$$ Entonces $$2=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+46}}}$$ Entonces $$2=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{4+2112}}}}$$ Entonces el último paso que hice fue $$2=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{4+\sqrt{5+4460539}}}}}$$ Cada paso era igual a 2 y mientras lo hacía me dio mucha curiosidad los números que seguían a cada uno de los números de conteo en cada paso. Con esto quiero decir $$3$$ en $$1+3$$ y el $$7$$ en $$2+7$$ así como el $$46,2112,$$ y $$4460539$$ Después de intentarlo durante mucho tiempo, no conseguí crear una función que diera estos valores al poner $$1,2,3,4...$$ Por eso he venido aquí. Esto es puramente por curiosidad, pero necesito ayuda para crear una función que escupa $$3,7,46,2112,4460539,..etc$$ . Gracias.
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Es fácil ver que la secuencia satisface la relación recurrente $$a_1 = 2,\quad a_{k+1} = a_k^2 - k$$ Esta secuencia se analiza en https://mathoverflow.net/questions/147217/asymptotic-behavior-of-the-sequence-u-n-u-n-12-n donde se da también la expresión explícita (hasta una constante) para ello: $$a_n = \left\lceil \lambda^{2^{n-1}}\right\rceil$$ donde $\lambda$ es una constante.
Basado en lo que estabas haciendo, hay una clara recursión: $$f(n) = f(n - 1)² - n$$ Este es un mapa cuadrático no homogéneo y probablemente no tenga una solución de forma cerrada. Yo diría que deberías estar preparado para la posibilidad de que no exista una función "plug and play". Puedo trabajar en cualquier otro tipo de solución para esto, veremos si surge algo.
