¿Fuerza entre dos barras cargadas?

Question

Supongamos que tenemos dos barras de longitud $l_1, l_2$ conectados en un extremo pero libres para girar. Estas varillas tienen densidad de carga $\lambda$ uniformemente distribuida, por lo que la carga total de la varilla $i$ es $\lambda l_i$ . Dado un ángulo interior entre ellos $\theta$ ¿Cuál es la fuerza entre las dos barras? ¿Cuál es el par?

Idea de solución: hallar la fuerza sobre una partícula con carga $d\lambda$ de una varilla de longitud finita y luego integrar sobre toda la varilla. Sin embargo, hace tiempo que no tomo clases de E&M, así que no estoy seguro de cómo hacerlo. Tampoco estoy seguro de cuál sería el par de torsión; $k\sin \theta$ tiene más sentido hasta que te das cuenta de que eso también significaría un par pequeño para ángulos pequeños, lo cual es incorrecto. Esto indica que el par debe ser discontinuo en $\theta = 0$ . Algo proporcional a $\cot \frac{\theta}{2}$ es mi mejor apuesta.

Edito: esto no son deberes, aunque lo parezca. Simplemente se me ocurrió y no pude resolverlo fácilmente.

Answer 1

Dado que se trata de un problema de tipo tarea, he aquí algunos

Consejos para la fuerza

1. La fuerza electrostática $d\vec F$ en un pequeño segmento $dl$ de la varilla dado el campo $\vec E$ de la otra varilla es $$ d\vec F = \lambda\, dl \,\vec E $$

2. Determina el campo de una varilla, y utiliza la expresión anterior para integrar la fuerza que ejerce sobre la otra varilla.

3. Se trata de un problema 2D ya que, por simetría, la fuerza está en el plano que contiene ambas barras.

Consejos para la torsión

1. Tomemos como origen el punto en el que se unen ambas varillas, entonces el par en un pequeño segmento de una varilla debido al campo de la otra es $$ d\vec \tau = \vec r\times d\vec F $$ donde $\vec r$ es el vector que apunta desde el origen al segmento.

2. Integrar para hallar el par total.

Anexo 1.

Empecé a resolver este problema, luego llegué a las integrales que necesitaba calcular para determinar el campo eléctrico de una varilla en un lugar general de la otra, y me di cuenta de que no hay solución a este problema tal como está planteado. La fuerza entre los dos elementos de carga en el extremo de cada varilla donde se unen es infinita (porque la distancia entre ellos es cero). Usted puede hacer este problema bien planteado considerando una carga densidades $\lambda_1, \lambda_2$ que llegue a cero lo suficientemente rápido en el punto donde se unen las varillas para que las integrales que tienes que realizar no diverjan, pero eso sería un problema diferente.

Anexo 2.

Señalé en los comentarios que las integrales que tendrías que calcular para obtener la fuerza entre varillas uniformemente cargadas con los extremos unidos divergen debido a las cargas que están a distancia cero entre sí en el vértice (lugar donde se unen las varillas).

Aquí tienes las integrales que tienes que calcular según lo solicitado. Tome la varilla 1 para estar en el positivo $x$ -con el extremo izquierdo en el origen, y tomar la varilla 2 con un ángulo de $\theta$ medido en el sentido contrario a las agujas del reloj desde el positivo $x$ -con su extremo izquierdo también en el origen. Sea $r_1$ denota la coordenada radial a lo largo de la varilla 1 y sea $r_2$ denota la coordenada a lo largo de la varilla 2 con $r_1=r_2=0$ en el origen. Dados dos puntos cualesquiera de las barras situados a distancias radiales $r_1$ y $r_2$ la distancia al cuadrado entre estos puntos es $$ d^2 = r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos\theta $$ que proviene de algún álgebra vectorial básica, o equivalentemente, de la ley de los cosenos. Ahora, digamos que estamos calculando la fuerza sobre la varilla $2$ por varilla $1$ entonces también necesitamos la expresión para el vector que apunta desde el punto en la posición $r_1$ en la barra 1 hasta el punto en la posición $r_2$ en la barra 2. Esto viene dado por $$ \vec d = (r_2\cos\theta -r_1)\,\hat x+r_2\sin\theta\,\hat y $$ La fuerza del elemento de carga $dq_1 = \lambda_(r_1)dr_1$ un elemento de carga $dq_2 = \lambda_2(r_2) dr_2$ en las posiciones $r_1$ y $r_2$ a lo largo de las varillas viene dada por la Ley de Coulomb; $$ d\vec F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq_1dq_2}{d^3}\vec d = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda_1(r_1)dr_1\lambda_2(r_2)dr_2 ((r_2\cos\theta -r_1)\,\hat x+r_2\sin\theta\,\hat y)}{(r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos\theta)^{3/2}} $$ y la fuerza deseada viene dada por y la integral sobre las longitudes de ambas barras de $0$ a la longitud de cada varilla; $$ \vec F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{0}^{\ell_1} dr_1\int_0^{\ell_2} dr_2 \frac{\lambda_1(r_1)\lambda_2(r_2) ((r_2\cos\theta -r_1)\,\hat x+r_2\sin\theta\,\hat y)}{(r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos\theta)^{3/2}} $$ Ahora puedes simplemente jugar con las formas de función de $\lambda_1$ y $\lambda_2$ para determinar qué tipo de distribuciones de carga dan integrales convergentes.

Answer 2

Como ha mostrado la respuesta de joshphysics, la fuerza sería efectivamente infinita en el caso de distribuciones lineales uniformes, pero el par no tiene por qué serlo. Utilizando las mismas convenciones que joshphysics, calculemos el par elemental $d\vec{T}$ experimentado por una pieza $dr_2$ de la varilla 2 en la posición $\vec{r_2}$ desde el punto de unión e integrarlo sobre la varilla 2. Se puede escribir $$ \begin{array}{rcl} \vec{T} &=& \int_0^{\ell_2}d\vec{T} \\ &=& \int_0^{\ell_2}\vec{r_2}\wedge\lambda_2dr_2\int^{\ell_1}_0 \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\lambda_1dr_1}{({r_1}^2+{r_2}^2-2r_1r_2\cos\theta)^{3/2}}\,(\vec{r_2}-\vec{r_1})\\ \vec{T} &=&\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_0^{\ell_2}\int_0^{\ell_1} \frac{\lambda_1\lambda_2\,r_1r_2\sin\theta\,dr_1dr_2}{({r_1}^2+{r_2}^2-2r_1r_2\cos\theta)^{3/2}}\hat{z} \end{array} $$

Para facilitar la integración, supongamos que $\theta=\pi/2$ por lo que primero tenemos que calcular

$$ \int_0^{\ell_1}\frac{r_1\,dr_1}{({r_1}^2+{r_2}^2)^{3/2}} = \left[-\frac{1}{\sqrt{{r_1}^2+{r_2}^2}}\right]_0^{\ell_1} = \frac1{r_2}-\frac1{\sqrt{{\ell_1}^2+{r_2}^2}} $$

para que finalmente

$$ \vec{T} = \frac{\lambda_1\lambda_2}{4\pi\varepsilon_0} \int_0^{\ell_2}\left(1 - \frac{r_2}{\sqrt{{\ell_1}^2+{r_2}^2}}\right)dr_2\,\hat{z} $$

que se puede integrar de forma similar a la anterior para dar, si no me equivoco,

$$ \vec{T} = \frac{\lambda_1\lambda_2}{4\pi\varepsilon_0}\left(\ell_2+\ell_1 -\sqrt{{\ell_1}^2+{\ell_2}^2}\right)\hat{z} $$

Answer 3

Intuición física

Me imagino que $\theta=\pi$ es un equilibrio estable y $\theta=0$ será un equilibrio inestable. Así que el par debe ser cero en $\theta=0$ y aumentan lentamente (linealmente) para $\theta$ pero en una dirección que aleja al sistema del equilibrio. Así que $\tau \sim k \, \sin \theta$ parece una conjetura razonable para las perturbaciones de los equilibrios.

Hallar la energía potencial del sistema

Considera un pequeño elemento en la varilla1 y halla su energía potencial debida a la varilla 2. Esto implicará una integración sobre la barra 2. Ahora, integre sobre rod1 para encontrar la energía potencial total del sistema. Ambas integraciones son sobre escalares... sin líos con componentes múltiples y proyecciones. Obtendrás una expresión para la energía potencial del sistema en función del ángulo entre las barras.

Encontrar el par

Fija tu sistema de coordenadas con el origen en la bisagra y (digamos) el eje X a lo largo de rod2. Entonces, efectivamente, sólo tienes 1 grado de libertad: el ángulo $\theta$ entre las varillas. Para hallar el par $\tau$ diferenciar la expresión de la energía potencial con respecto a $\theta$ .

Si quieres encontrar la fuerza, puedes invertir la expresión $\int_0^L F(r) \, r\, dr = \tau$ encontrar $F(r)$ y luego integrarlo a lo largo de la varilla para encontrar la componente tangencial de la fuerza.