Pregunta de teoría de la medida sobre la suma de una secuencia de funciones

Question

Dejemos que $\left(f_n\right)_{n\ge1}$ sea una secuencia de funciones medibles de valor real. Demostrar que existe una secuencia de constantes $c_n$ $>0$ tal que $\sum_{n=1}^{\infty} c_nf_n $ converge para casi todo x $\in \mathbb R$ .

Se agradece cualquier sugerencia. Gracias

Answer 1

Este trabajo cuando el espacio de medida involucrado $(X,\mathcal A,\mu)$ es $\sigma$ -finito. Sea $\left(A_n\right)_{n\geqslant 1}$ sea una secuencia no decreciente de subconjuntos medibles de medida finita tal que $\bigcup_{n\geqslant 1}A_n=X$ . Obsérvese que para todos los casos fijos $n$ se cumple la siguiente convergencia: $$ \lim_{R\to +\infty}\mu\left(A_n\cap\left\{x\in X\mid \left\lvert f_n(x)\right\rvert\gt 2^{-n} R\right\}\right)=0 $$ por lo que utilizando la definición del límite con $\varepsilon=2^{-n}$ vemos que podemos elegir $R_n\gt 0$ tal que $$ \mu\left(A_n\cap \left\{x\in X\mid \left\lvert f_n(x)\right\rvert\gt 2^{-n} R_n\right\}\right)\lt 2^{-n}. $$ Elija $c_n=1/R_n$ . Entonces, para todos los $n$ se cumple la siguiente desigualdad $$ \mu\left(A_n\cap \left\{x\in X\mid c_n\left\lvert f_n(x)\right\rvert\gt 2^{-n} \right\}\right)\lt 2^{-n}. $$ Arreglar un $N\geqslant 1$ . Desde $A_N\subset A_n$ para $n\geqslant N$ se deduce que para tal $n$ 's, $$ \mu\left(A_N\cap \left\{x\in X\mid c_n\left\lvert f_n(x)\right\rvert\gt 2^{-n} \right\}\right)\lt 2^{-n}. $$ aprovechando así la convergencia de la serie $\sum_n \mu\left(A_N\cap \left\{x\in X\mid c_n\left\lvert f_n(x)\right\rvert\gt 2^{-n} \right\}\right) $ se deduce que existe $E_N\subset A_N$ de medida $0$ tal que para todo $x\in A_N\setminus E_N$ existe $m(x)$ tal que para todo $n\geqslant m(x)$ , $c_n\left\lvert f_n(x)\right\rvert\leqslant 2^{-n}$ . Esto demuestra que para todos los $x\in A_N\setminus E_N$ la serie $\sum_n c_n\left\lvert f_n(x)\right\rvert$ converge. Por último, dejemos que $E:=\bigcup_{N\geqslant 1}E_N$ . Para todos los $x\in X\setminus E$ existe un $N$ tal que $x\in A_N\setminus E_N$ y $E$ tiene medida cero.

Answer 2

Creo que es una afirmación demasiado general. Si f(n)=n^m y c(n)=1/n^(m+2) , la suma será =1/1^2+1/2^2+1/3^2+...=pi^2/6 . Si c(n)=1/n^(m+s) , entonces la suma será la función Zeta Z(s) -B.Sahu