¿Cómo deducir que hay $(n^3+2n-3)/3$ multiplicaciones para la evaluación de determinantes?

Question

En Friedberg del Álgebra Lineal, el autor señala que la evaluación del determinante de una $n\times n$ matriz cofactor de expansión a lo largo de cualquier fila requiere más de $n!$ multiplicaciones, mientras que evaluar el determinante de una $n\times n$ matriz elemental de fila de las operaciones puede ser demostrado que sólo requieren $(n^3+2n-3)/3$ multiplicaciones.

No puedo siquiera imaginar el caso al $n=2$. El punto clave, creo, es el algoritmo exacto de la evaluación primaria de la fila de las operaciones. Pero que temporalmente no tienen idea de cómo continuar.

Aquí está mi pregunta:

¿Cómo puedo deducir el número de $(n^3+2n-3)/3$?

Answer 1

Suponiendo que la entrada de $(1,1)$ es distinto de cero, tienes que hacer multiplicaciones de $n$ para utilizar la primera fila para acabar con el elemento de $(2,1)$ % otro $n$para eliminar a $(3,1)$, etc.: todos dijeron, $n(n-1)$ operaciones para eliminar a la primera columna. Entonces tienes que hacer $((n-1)^3+2(n-1)-3)/3$ multiplicaciones para obtener el determinante de la matriz de #% de #% % y una multiplicación más para rematar las cosas. ¿Agregar encima de la derecha?