Cálculos relacionados con la raíz cuadrada con matrices

Question

Si $\mathbf A$ $n \times n$ matriz tal que $\mathbf A^6 = \mathbf I_n$ (la matriz de identidad), es cierto que cualquiera de las $\mathbf A^3 = \mathbf I_n$ o $\mathbf A^3 = \mathbf -I_n$?

Yo estoy luchando para resolver esta cuestión.

Me re-escribió $\mathbf A^3$$\mathbf B$, lo que da $\mathbf B^2 = \mathbf I_n$. Yo sé que, si $\mathbf B^2 = \mathbf I_n$, entonces no es necesariamente cierto que $\mathbf B = \pm\mathbf I$ (eché un vistazo en el siguiente enlace, aunque no he entendido bien la explicación dada: Si $A^2 = I$ (Matriz Identidad), a continuación, $A = \pm I$).

Puedo (y si es así, ¿cómo I) aplicar este efecto para el caso de que $\mathbf B$ es el cubo de otra matriz $\mathbf A$?

Answer 1

Que $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}.$

Answer 2

La respuesta es no. $$A=\left(\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\\1&0&0&0&0&0\end{smallmatrix}\right)$$

Lo anterior es una matriz de permutación. Cada poder de es una matriz de permutación, y su orden es seis, así que la primera potencia que es igual a la identidad es $A^6$. De hecho, un ejemplo similar puede ser construido para $n=5$, utilizando una diferente permutación del orden $6$.

Answer 3

La condición de que $A^n=I$ es equivalente a decir que todos los autovalores de a $A$ $n^{th}$ raíces de $1$. Así, en dos dimensiones, la única matrices cuadratura a $I$ pero no es igual a $I$ o $-I$ son los que tienen autovalores de a $1$ $-1$ - por lo tanto una característica de la matriz de $x^2-1$. Esto significa que $$\pmatrix{a&&b\\c&&d}$$ plazas a $I$ e no es $I$ o $-I$ si y sólo si: $$(a-x)(d-x)-bc=x^2-1$$ significado $$ad-bc=-1$$ $$a+d=0.$$ Un ejemplo de esto es Git Gud del ejemplo, pero hay infinitamente muchos ejemplos de este tipo - en particular, cualquier matriz de la forma $$\pmatrix{\lambda && \alpha \\ \frac{1-\lambda^2}{\alpha} &&-\lambda}$$ es suficiente para cualquier eligió de $\lambda$$\alpha$.