¿Por qué son las ecuaciones diferenciales para los campos de la física de orden dos?

Question

¿Cuál es la razón por la observación de que a través de la junta campos de la física se rige por segundo orden (parcial) ecuaciones diferenciales?

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Si alguien en la calle que iba de plano me pregunta, entonces probablemente me murmurar algo acerca de los físicos querer ser capaz de utilizar el enfoque de Lagrange. Y para permitir una rotación positiva y traducción invariante en el término de energía, que permite a los locales de propagación, se necesita algo como $-\phi\Delta\phi$.

Supongo que la respuesta va en esta dirección, pero realmente no puedo justificar por qué los términos más complejos en el Lagrangiano no están permitidos o por qué órdenes superiores son un problema físico. Incluso si estos requieren más datos iniciales, no veo el a priori del problema.

Además, usted puede venir para arriba con cantidades en el espíritu de $F\wedge F$ $F \wedge *F$ y bueno sí... tal vez algún hecho escalar sólo no describe la física o la pierde valioso simetrías. Hay otra parte en toda la renormalization negocio, parecen ser permitido el uso de montones y montones de términos en su Lagrangians. Y si he entendido bien, la teoría de la supersimetría es básicamente un método de introducción de nuevos Lagrange densidades demasiado.

No sabemos el límite para la confección de estos objetos? ¿Cuál es la justificación fundamental de orden dos?

Answer 1

Primero de todo, no es cierto que todos los importantes de ecuaciones diferenciales de la física son de segundo orden. La ecuación de Dirac es de primer orden.

El número de los derivados en las ecuaciones es igual al número de derivados en el correspondiente término pertinente de la Lagrangiana. Estos cinética términos tienen la forma $$ {\mathcal L}_{\rm Dirac} = \bar \Psi \gamma^\mu \partial_\mu \Psi $$ para campos de Dirac. Tenga en cuenta que el término tiene que ser de Lorentz-invariantes – una generalización de la invariancia rotacional para todo el espacio-tiempo – y para spinors, uno puede contratar con $\gamma_\mu$ matrices, por lo que es posible incluir simplemente un derivado $\partial_\mu$.

Sin embargo, para los bosones que tienen un número de integer, no hay nada como $\gamma_\mu$ que actúa sobre ellas. Así que la Lorentz-invariancia es decir, la desaparición de los índices de Lorentz en los términos de los derivados que tiene que lograrse por tener un número par de ellos, como en los $$ {\mathcal L}_{\rm Klein-Gordon} = \frac{1}{2} \partial^\mu \Phi \partial_\mu \Phi $$ lo que inevitablemente se producen de segundo orden ecuaciones así. Ahora, ¿qué acerca de los términos en las ecuaciones con los de cuarto o más de los derivados?

De hecho, están presentes en las ecuaciones. Pero sus coeficientes son potencias de una escala microscópica o escala de distancia $L$ – debido a que el origen de estos términos son de corta distancia fenómenos. Cada vez que se añade un derivado $\partial_\mu$ a un plazo, debe agregar $L$ como bueno, no para cambiar las unidades de la expresión. En consecuencia, los coeficientes de mayor derivado de los términos son positivos poderes de $L$, lo que significa que estos coeficientes incluidos los derivados, cuando se aplica a un típico macroscópica de la situación, son de orden $(L/R)^k$ donde $1/R^k$ viene de la extra derivados de la $\partial_\mu^k$ $R$ es una escala de distancia de la macroscópico problema que estamos resolviendo aquí (la típica escala donde los cambios de campo en un 100 por ciento o así).

En consecuencia, los coeficientes con mayor derivados pueden ser descuidados en todos los clásicos límites. Ellos están ahí, pero son insignificantes. Einstein creía que uno debe construir "hermoso" ecuaciones sin el alto-términos derivados y podía adivinar el derecho de baja energía aproximada de ecuaciones como un resultado. Pero estaba equivocado: la mayor derivado de los términos no son realmente ausente.

Ahora, ¿por qué no nos encontramos ecuaciones cuya orden inferior términos derivados están ausentes? Esto es porque su coeficiente en el Lagrangiano tendría que ser estrictamente cero, pero no hay ninguna razón para que sea cero. Por lo que es infinitamente improbable que el coeficiente es igual a cero. Es inevitablemente distinto de cero. Este principio es conocido como Gell-Mann anárquico (o totalitario) principio: todo lo que no está prohibido es obligatorio.

Answer 2

Uno puede volver a escribir cualquier pde de cualquier orden como un sistema de primer orden del pde, por lo tanto la suposición detrás de la pregunta es un poco cuestionable. También existen de primer orden del PDE de la relevancia de la física (ecuación de Dirac, Hamburguesas ecuación, para nombrar sólo dos).

Sin embargo, es común que las cantidades en física aparecen en el conjugado pares de campos potenciales y sus asociados de intensidad de campo, definida por el gradiente de potencial. Ahora los gradientes de intensidad de campo actuar como generalizada de las fuerzas que tratan de mover el sistema a un estado de equilibrio en el que estos gradientes se desvanecen. (Que sólo tendrá éxito si no hay suficiente fricción y ninguna fuerza externa.)

En una formulación donde sólo la mitad de cada par conjugado es explícito en las ecuaciones de segundo orden de la ecuación diferencial resultados.

Answer 3

Aquí vamos a por la sencillez limitamos a los sistemas que tienen un principio de acción. (Por fundamentales y la mecánica cuántica de sistemas, son a menudo el caso). Permítanos reformular OP cuestión de la siguiente forma:

¿Por qué el de Euler-Lagrange las ecuaciones de movimiento para un relativista (no relativista) sistema tiene en la mayoría de los dos el espacio-tiempo-derivados (derivados), respectivamente?

(Aquí el número exacto de los derivados depende de si se considera el Lagrangiano o la formulación Hamiltoniana, los cuales están relacionados a través de la transformación de Legendre. En el caso de una singular transformación de Legendre, uno debe usar la Dirac-Bergmann o la Jackiw-Faddeev método para ir de ida y vuelta entre los dos formalismos. Ver también este Phys.SE post.)

Respuesta:

La mayor derivado de los términos están en ciertas teorías suprimida dimensional de la razones por la natural escalas del problema. Por ejemplo, esto puede suceder en renormalizable teorías.

Pero el genérico respuesta es que las ecuaciones de movimiento en realidad no tiene que ser de orden $\leq 2$.

Sin embargo, para un genérico de orden superior, la teoría cuántica, si es mayor de derivados términos no son, naturalmente, suprimida, normalmente esto lleva a que los fantasmas de la denominada mal tipo con mal signo de la cinética plazo, negativo norma estados y unitarity violación.

En el ingenuo nivel explícito de las apariencias de tiempo mayor de derivados puede ser eliminado en las fórmulas mediante la introducción de más variables, ya sea a través de la Ostrogradsky método, o, equivalentemente, a través del multiplicador de Lagrange método. Sin embargo, la positividad problema no es curado por tales rewritings debido a la Ostrogradsky la inestabilidad, y el sistema cuántico aún mal definida. Véase también por ejemplo, este y este Phys.SE la respuesta.

Por lo tanto, uno puede a menudo no es consistente en el sentido de orden superior de las teorías, y esta puede ser la razón por la OP rara vez se enfrenta a ellos.

Por último, vamos a mencionar que es hoy en día popular para el estudio eficaz de mayor derivado de la teoría de campo, con la posibilidad de fundamento de la esperanza, de que un activo subyacente, supuestamente bien definido, unitario descripción, por ejemplo, la teoría de cuerdas, será la cura de todas las patologías.

Answer 4

La razón de ecuaciones de la física, en la mayoría de los de segundo orden, es debido a la llamada Ostrogradskian inestabilidad. (consulte papel por Woodard). Este es un teorema que establece que las ecuaciones de movimiento con derivadas de orden superior son, en principio, inestable o no local. Esto se comprueba fácilmente utilizando el Lagrangiano y Hamiltoniano formalismo.

El punto clave es que en el fin de obtener una ecuación de movimiento de tercer orden en los derivados, necesitamos un Lagrangiano que depende de las coordenadas generalizadas velocidades y aceleraciones: $L(q,\dot{q},\ddot{q})$. Mediante la realización de una transformación de Legendre para obtener el Hamiltoniano, esto implica que necesitamos dos generalizado de momentos. El Hamiltoniano de resultados de forma lineal en al menos uno de los impulsos y por lo tanto es ilimitado desde abajo (puede ser negativo). Esto corresponde a un espacio de fase en la cual no hay ninguna estable de las órbitas.

Me gustaría escribir la prueba aquí, sino que ya fue respondido en este post. Allí, la pregunta es ¿por qué Lagrangians sólo tienen un derivado, pero es en realidad estrechamente relacionados, ya que uno siempre puede encontrar las ecuaciones de movimiento de un Lagrangiano y viceversa.

Citando Woodard: "hace mucho tiempo parecía para mí que la Ostrogradskian la inestabilidad es la más poderoso, y el menos reconocido, restricción fundamental en Lagrange la teoría de campo. Reglas mucho más de los candidatos Lagrangians que cualquier simetría principio. Los físicos teóricos no les gusta ser dice que no pueden hacer algo y un calvo no-go teorema provoca contemplar tortuoso evasiones. ... El Ostrogradskian inestabilidad no debe parecer sorprendente. Esto explica por qué cada sistema único hasta ahora hemos observado parece ser se describe, en el nivel fundamental, por un local de Lagrange que no contiene más alto que el primer tiempo de los derivados. El extraño e increíble cosa sería si este hecho fue simplemente un accidente."

Answer 5

Primero de todo, no es cierto que todos los importantes de ecuaciones diferenciales en la física son de segundo orden. La ecuación de Dirac es de primer orden.

Este es correcta. Sin embargo, la física, la evolución de las ecuaciones son de segundo (en el tiempo) a fin de ecuaciones hiperbólicas. De hecho, cada componente de Dirac spinor sigue un segundo orden de la ecuación, es decir, de Klein-Gordon ecuación.

Ahora, ¿qué acerca de los términos en las ecuaciones con los de cuarto o superior los derivados?

De hecho, están presentes en las ecuaciones.

Ni el Modelo Estándar (SM) de Lagrange ni la de Einstein-Hilbert (EH) acción contener más altos que los de segundo orden temporal derivados. Estas son las acciones que se experimentalmente probado y estas dos teorías son las más fundamentales de las teorías científicas que tenemos. Sabemos que hay de la física más allá de estas dos teorías y la gente tiene buenos candidatos a las teorías, pero la física es una ciencia experimental y estas teorías no son verificados experimentalmente. La efectiva SM de Lagrange (un invariante de Lorentz de la teoría con el medidor de simetrías de la SM pero irrelevantes operadores) no contener más altos que los de segundo orden temporal derivados. Igualmente para la EH acción plus de orden superior escalares. Dos aclaraciones, sin embargo, son en orden:

• Estos términos irrelevantes no son verificados experimentalmente. Casi todo el mundo está seguro de que el neutrino términos de masa (que son irrelevantes a los operadores, pero no contienen las derivadas de orden mayor) existen en el fin de explicar las oscilaciones de neutrinos, pero hasta ahora no tenemos directa de las mediciones de masas de neutrinos por lo tanto no se nos permite afirmar que estas condiciones existen. Resumiendo: el efectivo SM no es una verificado la teoría.

• El origen de estos términos irrelevantes es una consecuencia de la integración de fuera de los campos, con una masa mucho mayor que la escala de la energía que nos interesa. Este podría ser el caso de los neutrinos masivos plazo y un diestro de neutrinos. Por ejemplo, en la electrodinámica cuántica, si uno está interesado en la física mucho más bajas energías de la masa del electrón, se pueden integrar (o de la naturaleza integra-out) el electrón campo de la obtención de un efectivo de Lagrange (Euler-Heisenberg de Lagrange) con términos con derivadas de orden mayor como $\frac{\alpha ^2}{m_e^4}~F_{\mu\nu}~F^{\mu\nu}~F_{\rho\sigma}~F^{\rho\sigma}$ (que contiene cuatro derivados). Estos son términos que se suprimió por constantes de acoplamiento ($\alpha$) y de alta energía escalas ($m_e$). Hay términos con un número de derivados por alto de manera arbitraria, y que provienen de los inversos de los operadores diferenciales. Esto hace que las derivadas de orden mayor no entrar en el cero de orden de la ecuación de movimiento.

Sin embargo, en una teoría fundamental (en contraste con una efectiva), finito de orden superior de los derivados no están permitidas en las teorías interactivas (hay algunas excepciones con medidor de campos, pero por ejemplo un genérico $f(R)$ teoría de la gravedad es inconsistente). La razón es que esas teorías son no acotados de abajo (ver ¿por Qué sólo los derivados de primer orden pertinente?) o, en algunos cuantizaciones, contienen negativo de la norma de los estados. Estos términos se encuentran entre lo prohibido a los operadores en Gell-Mann principio totalitario.

En resumen, la evolución de las ecuaciones son de orden dos, debido a la existencia de un normalizable vacío y unitarity (incluyendo aquí el hecho de que los estados físicos deben tener buen norma). Newton tenía razón cuando escribió $$\ddot x=f(x,\dot x)$$