$n+1$ es un divisor de $\binom{2n} {n}$

Question

Quiero mostrar que $n+1$ es un divisor de $\displaystyle\binom{2n} {n}$, para todos los $n\in\mathbb{N}.$

He tratado de mostrar por inducción y regla de Pascal pero lo hizo no funcionó.

Agradeceria alguna ayuda.

Answer 1

Desde la página de Wikipedia para los números de catalán: http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number

Tenga en cuenta % $ $$\binom {2n}{n+1} = \frac{(2n)!}{(n-1)!(n+1)!} = \frac{n}{n+1} \frac{(2n)!}{n!n!} = \frac{n}{n+1}\binom{2n}{n}$

Así $$\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} = \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n+1}$ $ es un número entero.

Answer 2

ps

Answer 3

Let $$x=\frac{1}{n+1}{2n\choose n}\implies x=\frac{(n+1)-n}{n+1}{2n\choose n}$$ $$ \implies x={2n\choose n}-{2n\choose n+1}$$.

$n\choose k$ Es siempre un entero $\implies x$ es que divide a un entero $\implies (n+1)$ ${2n\choose n}$

Answer 4

Sugerencia $\ $Put $\rm\:k = 2n\:$ en el siguiente

Teorema de $\displaystyle \rm\ \ (n\!+\!1,k\!+\!1) = 1\:\Rightarrow\: n\!+\!1\:\bigg|\:{k\choose n}$

Prueba $\displaystyle\rm\ \ \ (n\!+\!1){k\choose n\!+\!1}\, =\, \frac{(n\!+\!1)\,k!}{(n\!+\!1)! \,(k\!-\!n\!-\!1)!}\, =\, \frac{(k\!-\!n)\,k!}{n!\, (k\!-\!n)!} \,=\, (k\!-\!n){k\choose n}$

así que el resultado se sigue del lema de Euclides, desde $\rm\:(n\!+\!1,k\!-\!n) = (n\!+\!1,k\!+\!1) = 1.\ \ $ QED