Polinomio irreducible sobre campo de orden p

Question

Dejemos que $p$ sea un primo y $F=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ y $f(t)\in F[t]$ sea un polinomio irreducible de grado $d$ .

Necesito demostrar que $f(t)$ divide $t^{(p^{n})}-t$ si y sólo si $d$ divide $n$ .

Answer 1

El primer teorema del siguiente documento proporciona la prueba:

http://www.jstor.org/stable/2316211

O mira el Teorema $7.6$ del siguiente artículo

http://www-groups.mcs.st-and.ac.uk/~neunhoef/Teaching/ff/ffchap3.pdf

Answer 2

@pritam: ¡Gracias por el recurso!

Para los usuarios que quieran saber la respuesta desde el enlace, aquí está:

Supongamos que $f$ divide $t^{(p^{n})}−t$ . Entonces, si $a$ es una raíz de $f$ entonces $a^{(p^{n})}=a$ Así que $a$ está contenido en un campo de orden $p^{n}$ así que $F[a]$ es un subcampo de $F^{'}=\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}$ . Pero como $f$ es un polinomio de grado $d$ , $[F[a]:F]=d$ y $[F^{'}:F]=n$ y así $d$ divide $n$ desde $n=[F^{'}:F[a]]d$ .

Por el contrario, supongamos que $d$ divide $n$ . Entonces $F^{'}=\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}$ contiene $F^{''}=\mathbb{Z}/p^{d}\mathbb{Z}$ como un subcampo. Si $a$ es una raíz de $f$ entonces $F[a]=F^{''}=\mathbb{Z}/p^{d}\mathbb{Z}$ . Así, $a\in F^{''}$ así que $a\in F^{'}$ . Así que $a^{(p^{n})}=a$ por lo que cada raíz de $f$ es una raíz de $t^{(p^{n})}-t$ . Así, $f$ divide $t^{(p^{n})}-t$ .