Hay un mapa continuo sobreyectiva de $\mathbb{R}$ en el subespacio $\mathbb{R^{\infty}}$

Question

Hay mapa continua sobreyectiva de $\mathbb{R}$ en el subespacio $\mathbb{R^{\infty}}$ $\mathbb{R}^\omega$ con topología del producto, donde $\mathbb{R^{\infty}}$ denota el conjunto de puntos de $\mathbb{R}^\omega$ tal que todo sino finito muchos coordenadas de los puntos están cero.

¿Qué pasa si $\mathbb{R}^\omega$ está equipado con caja topología o topología uniforme?

Answer 1

Definir los subconjuntos $S_n$$\mathbb R^\infty$$S_n = \big\{ \{a_1,\dots,a_n,0,0,\dots\} \colon \text{each }|a_j|\le n \big\}$. Supongamos $f\colon \mathbb R \to \mathbb R^\infty$ es un mapa con la siguiente propiedad: para cada $n$, existe un intervalo de $I_n\subset\mathbb R$ tal que $f$ restringido a $I_n$ es un surjection en $S_n$. A continuación, $f$ es un surjection en $\mathbb R^\infty$.

Es fácil ver que esta implicación es verdadera, ya que cada punto en $\mathbb R^\infty$ $S_n$ para todos lo suficientemente grande $n$ (todo lo que necesitamos es que cada punto está en una $S_n$). También es fácil construir una función de $f$, por lo que es implementar un continuo espacio-llenado de la curva de a $S_n$ en el intervalo de $[2n,2n+1]$ y, a continuación, cualquier cosa vieja en el intervalo de $[2n+1,2n+2]$ a mantenerlo continua.

Habría que averiguar cómo sensible de esta construcción es el elegido de la topología se reduce a si hay un espacio continuo llenado de las curvas en los topologías.