Existencia de incrustaciones no implica la existencia de un Homeomorfismo

Question

Supongamos que existen incrustaciones $f:X\to Y$ y $g:Y\to X$. Mostrar mediante un ejemplo que $X$ y $Y$ no necesita ser homeomorfa.

Configurar $X=(0,1)$ y $Y=(0,\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2}, 1)$. ¿Creo que $f:X\to Y$ definidas en $f(x)=\frac{x}{2}$ es una incrustación, correcto? Además, claramente $g:Y\to X$ definidas en $g(y)=y$ es una incrustación. Pero % está conectado $X$y $Y$ se desconecta, hay no hay Homeomorfismo entre ellos.

¿Esto está bien?

Answer 1

Sí, parece correcto para mí. En esta pregunta de mathoverflow pedí ejemplos incluso más estrictos (bijections continuo ambas maneras, pero no homeomórficos). Tenga en cuenta que no puede ningún bijection de $X$ en $Y$ en tu ejemplo por la misma razón de la conexión. Tan más complejos pueden encontrarse ejemplos allí también.

Answer 2

Este es otro ejemplo, quizás más agradable:

Tomar $X=(0,1)$ y $Y=[0,1]$. Claramente los espacios no son homeomórficos porque uno es compacto y el otro no es; pero el mapa $x\mapsto\frac{1+x}4$ es un encajar de $X$ $Y$ y $Y$ $X$.