La expectativa de que el máximo de variables aleatorias gaussianas

Question

Hay una exacta o buena expresión aproximada para la esperanza, la varianza o de otros momentos de la máxima de $n$ independientes, idénticamente distribuidas de gauss variables aleatorias donde $n$ es grande?

Si $F$ es la función de distribución acumulativa de una norma de gauss y $f$ es la función de densidad de probabilidad, a continuación, la CDF para el máximo es (desde el estudio de las estadísticas de orden) dada por

$$F_{\rm max}(x) = F(x)^n$$

y el PDF es

$$f_{\rm max}(x) = n F(x)^{n-1} f(x)$$

por lo que es ciertamente posible anotar integrales que evaluar a la expectativa y en otros momentos, pero no es bastante. Mi intuición me dice que la expectativa de que el máximo sería proporcional a $\log n$, aunque yo no ver cómo ir probando esto.

Answer 1

Qué precisa una respuesta que están buscando? Dar (superior) límites en la máxima de que me.yo.d Gaussianas es más fácil que precisamente la caracterización de sus momentos. Aquí es una manera de ir sobre esto (la otra sería la de combinar una cola enlazada en Gaussiano RVs con un sindicato unido).

Deje $X_i$ $i = 1,\ldots,n$ ser yo.yo.d $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$.

Definir, $$ Z = [\max_{i} X_i] $$

Por la desigualdad de Jensen,

$$\exp \{t\mathbb{E}[ Z] \} \leq \mathbb{E} \exp \{tZ\} = \mathbb{E} \max_i \exp \{tX_i\} \leq \sum_{i = 1}^n \mathbb{E} [\exp \{tX_i\}] = n \exp \{t^2 \sigma^2/2 \}$$

donde la última igualdad se sigue de la definición de la Gaussiana momento de generación de función (un obligado para los sub-Gaussiano variables aleatorias también sigue por este mismo argumento).

La reescritura de este,

$$\mathbb{E}[Z] \leq \frac{\log n}{t} + \frac{t \sigma^2}{2} $$

Ahora, establezca $t = \frac{\sqrt{2 \log n}}{\sigma}$ para obtener

$$\mathbb{E}[Z] \leq \sigma \sqrt{ 2 \log n} $$

Answer 2

El $\max$-teorema del límite central (Fisher-Tippet-Gnedenko teorema) puede ser utilizado para proporcionar un decente aproximación al $n$ es grande. Ver este ejemplo en la página de referencia para los valores extremos de la distribución en Mathematica.

El $\max$-teorema del límite central establece que $F_\max(x) = \left(\Phi(x)\right)^n \approx F_{\text{EV}}\left(\frac{x-\mu_n}{\sigma_n}\right)$ donde $F_{EV} = \exp(-\exp(-x))$ es la función de distribución acumulativa para los valores extremos de la distribución, y $$ \mu_n = \Phi^{-1}\left(1-\frac{1}{n} \right) \qquad \qquad \sigma_n = \Phi^{-1}\left(1-\frac{1}{n} \cdot \mathrm{e}^{-1}\right)- \Phi^{-1}\left(1-\frac{1}{n} \right) $$ Aquí $\Phi^{-1}(q)$ denota la inversa de la cdf de la distribución normal estándar.

La media de la máxima de que el tamaño de la $n$ muestra normal, para un gran $n$, se aproxima bien por $$ \begin{eqnarray} m_n &=& \sqrt{2} \left((\gamma -1) \Phi^{-1}\left(1-\frac{1}{n}\right)-\gamma \Phi^{-1}\left(1-\frac{1}{e n}\right)\right) \\ &=& \sqrt{\log \left(\frac{n^2}{2 \pi \log \left(\frac{n^2}{2\pi} \right)}\right)} \cdot \left(1 + \frac{\gamma}{\log (n)} + \mathcal{o} \left(\frac{1}{\log (n)} \right) \right) \end{eqnarray}$$ donde $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante.