$f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n)$

Question

Encontré este en la lista de OMI'96 (3) problemas y decidió intentarlo, pero no pudo completar la solución. Así que $m$ y $n$ son enteros no negativos y $f$ toma valores en el mismo conjunto:

$$f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n)$$

Dejemos que $m=n=0$ : $$f(f(0))=f(f(0))+f(0)$$ por lo que $$f(0)=0$$ Ahora dejemos que $m=0$ : $$f(f(n))=f(n)$$ por lo tanto: $$f(m+f(n))=f(m)+f(n)$$ Ahora considere las siguientes posibilidades

1) $f(m)=f(n) \implies m=n$ $$f(m+f(n))=f(m)+f(n)$$ $$f(n+f(m))=f(n)+f(m)$$ Por simetría de la RHS: $$f(m+f(n))=f(n+f(m))$$ Por lo tanto, por la suposición $$m+f(n)=n+f(m)$$ $$f(n)-n=f(m)-m$$ Como los dos lados son independientes deben ser ambos iguales a una constante $$f(n)-n=C$$ $$f(0)=0 \implies C=0 \implies f(n)=n$$ 2) Es en la segunda parte donde me he confundido. Supuse que $f(m)=f(n)$ donde $m \ne n$ para que $$f(m+f(n))=2f(n)$$ entonces, imagina que como el RHS no depende de $m$ mientras que LHS lo hace, entonces $f=C$ y dedujo de la ecuación original que $C$ debe ser 0. Pero luego transmití que de hecho aquí tengo algunos valores particulares de $m$ y $n$ y no algo arbitrario. Si alguien puede indicarme la dirección correcta, se lo agradecería.

Answer 1

Si $f$ es una solución a $f(m+f(n)) = f(f(n)) + f(m)$ entonces $f \equiv 0$ o hay algo de $k\in\mathbb N$ y algunos $a_0,\ldots,a_{k-1} \in \mathbb N_0$ $a_0 = 0$ s.t. $f(kn+r) = k(n+a_r)$ todos los $n\in \mathbb N_0, 0 \leq r < k$.

Es fácil comprobar que estas funciones son, de hecho, las soluciones de la ecuación funcional. Para demostrar que cada una de las soluciones es de este tipo, lo primero que hacer algunas observaciones acerca de los puntos fijos.

Reclamo: Vamos a $f$ ser una solución y se denotan por $F$ el conjunto de puntos fijos de $f$, es decir,$F = \{ n\in \mathbb N_0 : f(n) = n \}$. A continuación, las siguientes declaraciones:se

1. $0 \in F$
2. $F$ es cerrado bajo la suma, es decir, si $x,y\in F$,$x+y \in F$.
3. Si $x \in F$$x+y \in F$ ,$y \in F$.
4. $F = k\mathbb N_0$ algunos $k \in \mathbb N_0$.

Prueba: (1) se sigue de $f(0) = 0$. Si $x,y\in F$ $f(x+f(y)) = f(x)+f(y)$ obtenemos $f(x+y) = x+y$, por lo tanto $x+y \in F$. Si $x,x+y\in F$ $$y+x = f(y+x) = f(y+f(x)) = f(y)+f(x) = f(y) + x,$$ por lo tanto $f(y) = y$. (4) ahora sigue a partir de las declaraciones anteriores: Si $0$ es el único punto fijo, a continuación, $F = \{0\} = 0\mathbb N_0$ y hemos terminado. De lo contrario, no hay un más pequeño distinto de cero punto fijo $k$. Por (2), $k\mathbb N_0 \subseteq F$. Si $x$ es cualquier otro punto fijo, a continuación, escriba $x = kn+r$$n\in \mathbb N_0$$0 \leq r < k$. Por (3), tenemos $r \in F$. Pero $k$ es el más pequeño distinto de cero punto fijo y $r < k$, lo $r = 0$$x = kn \in k\mathbb N_0$. (Esta era básicamente la prueba de que $\mathbb Z$ es un director ideal de dominio.)

Ahora observe que el $f(\mathbb N_0) \subseteq F$, ya que el $f(f(n)) = f(n)$ todos los $n$. Por lo tanto, si $F = \{0\}$ $f(n) = 0$ todos los $n$, es decir, $f$ es constantemente igual a cero. De lo contrario, $F = k\mathbb N_0$ para algunos no-cero $k$. Ahora vamos a $a_r' := f(r)$$0 \leq r < k$. A continuación,$a_0' = 0$, y para todos los $n \in \mathbb N_0$ $0\leq r < k$ hemos $$f(kn+r) = f(r + f(kn)) = f(r) + f(kn) = f(r) + kn = kn + a_r'.$$ Además, $kn+a_r' \in f(\mathbb N_0) \subseteq k\mathbb N_0$, por lo tanto $k|a_r'$. Escribir $a_r' = k a_r$,$f(kn+r) = k(n+a_r)$, como se reivindica.