¿Existe un $k$ tal que $2^n+k$ nunca es primero?

Question

¿Existe algunos % entero positivo impar $k$tal que todos enteros $n>0$, $2^n+k$ nunca es primero?

Extensión:

¿Si sí, para cualquier $a$, siempre existen algunos $b$ tal que $a^n+b$ nunca es primero?

¿Si no, existe un % de enteros positivos coprimos $a,b>1$, que $a^n+b$ nunca es primero?

Answer 1

$k=78557$ hace el trabajo para el primer problema.

Prueba:

Vamos $k>0$, $n := 78557+2^k$.

Caso 1: $k\equiv 0\pmod 2$. A continuación,$3|n$.
Caso 2: $k\equiv 3\pmod 4$. A continuación,$5|n$.
Caso 3: $k\equiv 1\pmod{12}$. A continuación,$13|n$.
Caso 4: $k\equiv 5\pmod{12}$. A continuación,$7|n$.
Caso 5: $k\equiv 9\pmod{36}$. A continuación,$37|n$.
Caso 6: $k\equiv 21\pmod{36}$. A continuación,$19|n$.
Caso 7: $k\equiv 33\pmod{36}$. A continuación,$73|n$.

Desde la distinción cubre todos los casos posibles, $n$ siempre es compuesto.

Respecto a la segunda parte: yo creo que la existencia de las $b$ tal que $a^n+b$ está compuesto por todos los $n>0$ es muy probable que como expessions como $a^{36}-1$ tienden a tener "suficiente" diferentes factores primos para la construcción de un "revestimiento conjunto" como el conjunto $\{3,5,7,13,19,37,73\}$ por encima. Entonces, usando el Teorema del Resto Chino, usted debería ser capaz de construir un adecuado $b$.