¿Caso $(f◦g)(x)=x$ $(g◦f)(x)=x$?

Question

Dado $$(f◦g)(x)=x$ $ (de R a R para cualquier x en R)

significa también %#% $ #%
Me siento como no verdadero pero no podemos encontrar ejemplo contrario :( He probado diversas maneras durante varias horas pero no puedo contrarrestarla aunque casi estoy seguro que esto sólo será cierto si g es a pero no sé por qué: P

Answer 1

Tomemos, por ejemplo, $f(x) = \ln(x)$$g(x) = e^x$.

A continuación, para cada $x\in\mathbb R$, usted tiene $f(g(x))=\ln(e^x) = x$. Pero eso no es cierto, al revés, es decir, la declaración:

Para cada $x\in \mathbb R: g(f(x)) = x$

es una declaración falsa, porque $f(x)$ no está definida para $x\leq0$.

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Si desea $f$ a ser definido en todas partes, se puede definir

$$f(x)=\begin{cases}\ln|x| & \text{if } x\neq 0\\ 0&\text{if } x = 0\end{casos}.$$

Luego se tiene que, para cada $x\in\mathbb R$: $f(g(x)) = f(e^x)$ que, debido a $e^x\neq 0$, es igual a $\ln(|e^x|) = \ln(e^x)=x$.

Por otro lado, se tiene, para cada $0\neq x\in \mathbb R$,$g(f(x)) = e^{\ln|x|} = |x|$, así que si $x<0$, $g(f(x))$ no es igual a $x$.

Answer 2

Deje $ dom(f)$ ser el dominio de la función $f$ $im(f)$ ser su imagen. Es más fácil entender esto si usted escribe la pregunta en el formulario

"Si $f \circ g(x) = x$ todos los $x \in dom(g)$, entonces si que siga $g \circ f(y) = y$ todos los $y \in dom(f)$?"

Para obtener la respuesta general, tenga en cuenta que $f \circ g(x) = f(g(x)) = x$ implica $g(f(g(x))) = g(x)$. Por lo tanto, $g \circ f(y) = y$ todos los $y$ que puede ser escrito como $y = g(x)$ algunos $x$, es decir, para todos los $y \in im(g)$. Pero si hay $y \in dom(f)$ que no están en $im(g)$, $g \circ f(y)$ necesidad no es igual a $y$.

Así que la respuesta es sí si $im(g) = dom(f)$, pero puede ser no se si ese no es el caso.

En el caso discutido por @5xum, $g(x) = e^x$$im(g) = (0, \infty)$. Ahora si $f(x) = \ln x$,$dom(f) = (0,\infty)$. Tanto en $f\circ g(x) = x$ $g \circ f(y) = y$ son correctos para todos los $x \in dom(g), y \in dom(f)$. Pero si $f(x) = \ln |x|, f(0) = 0$, $dom(f) = \mathbb{R}$ que es mayor que $im(g)$. Por lo tanto, no se $y \in dom(f)$ tal que $g \circ f(y) \ne y$ aunque $f \circ g(x) = x$ todos los $x \in dom(g)$.

Answer 3

Deje $f(x)=\begin{cases}\tan(x),&\text{if }x \in (-\pi,\pi)\\0,&\text{otherwise}\end{cases}$

y $g(x)=\tan^{-1}(x)$ imagen $(-\pi,\pi)$.

A continuación, $f(g(x))=x$ pero $g(f(2\pi))=0\ne 2\pi$.

La hipótesis es cierto tanto si $f$ $g$ son continuas. $g(\mathbb{R})$ es un intervalo, y $f|_{g(\mathbb{R})}$ tiene inversa* $g$ y por lo tanto es inyectiva, por lo que debe ser estrictamente monótona. Si $g(\mathbb{R})$ tiene un número finito de extremo, por ejemplo,$(-\infty,t)$,$\lim_{x\to t^-} f(x)=\pm\infty$, de lo contrario $f$ no tiene imagen $\mathbb{R}$. Esto contradice la suposición de que $f$ es continua. Por lo tanto $g$ es surjective, y por lo $f$ $g$ debe ser inversos el uno del otro.

*Para mostrar que $\forall x\in g(\mathbb{R}), g(f(x))=x$:

Deje $y\in \mathbb{R}$ s.t. $g(y)=x$.

$g(f(x))=g(f(g(y)))=g(y)=x$.

Creo que usted puede venir para arriba con un contraejemplo si sólo contamos $f$ continuo.

Answer 4

Definir: $$ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f (x) =\begin{cases} \,\,\,\,\,x\,\,\,\,\,\,\text{ if }\,x\le0,\\ \,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\text{ if }\,0\le x\le1,\\ x-1\,\text{ if }\,x\ge1; \end{casos} $$ $$ g (x) =\begin{cases} \,\,\,\,\,x\,\,\,\,\,\,\text{ if }\,x\lt0,\\ x+1\,\text{ if }\,x\ge0.\\ \end{casos} $$ $f$ es continuo, $f(g(x))=x$ % todo $x$y $g(f(0))=1$.