Grupo de rotación 3D

Question

Se sabe que el grupo $\text{SO}(3)$ de rotación-matrices (matrices de $A$$\det(A)=1$) se generan a partir de tres parámetros. Esto puede ser expresado por el hecho de que cualquier matriz de rotación es una composición de rotaciones de eje

$$ \begin{pmatrix} \cos(\phi)&-\sin(\phi)&0\\ \sin(\phi)&\cos(\phi)&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \cos(\phi)&0&\sin(\phi)\\ 0&1&0\\ -\sin(\phi)&0&\cos(\phi)\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&\cos(\phi)&-\sin(\phi)\\ 0&\sin(\phi)&\cos(\phi)\\ \end{pmatrix} $$

La pregunta es: ¿por Qué la segunda matriz (Generalmente se llama rotación alrededor de la $y$-eje ) en casi cualquier libro de texto escrito como este?

Relacionado con los otros dos matrices, yo diría que el negativo $$ \begin{pmatrix} \cos(\phi)&0&-\sin(\phi)\\ 0&1&0\\ \sin(\phi)&0&\cos(\phi)\\ \end{pmatrix}, $$ es conceptual más sencillo. Cualquier ayuda u orientación que será apreciado.

Answer 1

Tenga en cuenta que todas las matrices de la lista se gire vectores por el ángulo de $\phi$ $x,y$ $z$ eje respectivamente. La alternancia de los signos es el resultado de la mano derecha el tornillo de la regla. Vamos \begin{equation*} A=\bigl(\begin{smallmatrix} \cos(\phi) & 0 & \sin(\phi) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin(\phi) & 0 & \cos(\theta) \end{smallmatrix}\bigr). \end{ecuación*}

Tenga en cuenta que para una matriz de rotación, debemos tener $A^T=A^{-1}$ $\det A=1$ que se puede comprobar es por un elemental cálculo. Las ubicaciones de todos los elementos en el $y-$eje de rotación de la matriz se colocan de manera que tenemos una rotación alrededor de la $y-$eje. Por ejemplo, supongamos que estamos en $\mathbb{R}^3$ y queremos rotar el vector $(0,0,1)$ (en consonancia con la $z-$eje) $90^o$s. Luego multiplicando $A$ evaluado en $\phi=90$ por este vector unitario da $(1,0,0)$ que geométricamente es un $90^o$ giratorio alrededor de la $y-$eje.