Física del trampolín: ¿cuál es el momento adecuado para agacharse y saltar para maximizar su altura?

Question

Por favor, tened en cuenta que no soy un tipo de física ni particularmente de matemáticas. Así que probablemente necesitaré algo más de ayuda que una ecuación compleja.

Para un juego, estoy tratando de calcular un razonable simulación de un cuerpo humano en un trampolín. Me parece que hay dos fases a tener en cuenta una vez que el cuerpo ha entrado en contacto con el trampolín: la desaceleración del cuerpo una vez que ha entrado en contacto con la superficie, que se almacena como energía potencial en el trampolín, y luego la combinación de la liberación de esa energía potencial una vez que el cuerpo ha alcanzado el nadir más cualquier fuerza extra que el cuerpo pueda aplicar (suponiendo que haya doblado las rodillas antes de ese punto).

Me interesa entender la interacción entre el almacenamiento y la liberación de energía del trampolín y la propia contribución (adición) del cuerpo a esa energía con su propia energía cinética.

ACLARACIÓN: En resumen, quiero saber cuándo es el mejor momento para agacharse (subir las rodillas) y cuándo es el mejor momento para soltarse (saltar). Cualquiera que haya estado en un trampolín sabe que se puede conseguir mejor altura agachándose y saltando en el momento adecuado - también se puede llegar a parar completamente agachándose y saltando en diferentes momentos. Sin embargo, no encuentro nada documentado sobre cuáles son estos tiempos. Ya que no pude encontrar la información en el lado de los deportes / atletismo, pensé en venir aquí al lado de la física y ver si alguien sabía.

Seguramente no estoy siendo muy claro, lo que no hace más que revelar mis propias carencias en este asunto. Se agradecería cualquier orientación. Entiendo que este foro suele funcionar a un nivel mucho más alto que el que busco, pero pensé en preguntar aquí, ya que es donde parecen reunirse las grandes mentes.

EDITAR Puedo hacer fácilmente una simulación "suficientemente buena" de una masa "rebotando" en el trampolín tomando su velocidad de entrada y simplemente invirtiéndola y multiplicándola por una cantidad de restitución arbitraria para simular la elasticidad del material. No se necesita nada más complicado desde la perspectiva de un juego.

La parte que me está matando es conseguir que el cuerpo siga moviéndose más allá del plano del trampolín mientras desacelera hasta 0 y luego acelera de nuevo hasta la "velocidad de liberación" final. La parte que me desconcierta es la que ocurre entre el momento en que el cuerpo toca el material y el momento en que abandona el contacto, teniendo en cuenta cualquier fuerza adicional añadida por la persona a través de sus piernas (he decidido no modelar ninguna elevación adicional seguro al movimiento de los brazos, etc, para mantener tanto la simulación como los controles del usuario de la misma sencillos).

SEGUNDA EDICIÓN ¡He leído las respuestas aquí y son muy buenas! Y, sorprendentemente, parece que estoy siguiendo alrededor del 75% de la misma.

El reto que tengo es que me interesa principalmente la velocidad, más que la energía, aunque obviamente es la energía la que está detrás de todo esto. Cada 30 de segundo (cada "paso") necesito saber la velocidad del cuerpo para poder trazar su nueva posición. Es muy fácil trazar la posición del cuerpo una vez que ha dejado el "contacto": partiendo de una posición y velocidad arbitrarias, v = v + g, y = y + v. Verás, es una forma muy diferente de representar los mismos hechos cuando se trata de gráficos visuales que de ecuaciones físicas.

Así que ahora y = el plano del trampolín. v = v * c, donde 'c' es un factor de cuánto se comprimirán los muelles, menos de 1. y = y + v hasta que v se acerque a 0, momento en el que empezamos el "rebote". Aquí supongo que v = v * (1/c) * s, donde 's' representa cualquier factor de 'pérdida' que queramos simular para no obtener un rebote del 100%. Una vez que y > el plano del trampolín, podemos olvidarnos de lo más complicado y volver a dejar que la gravedad se encargue.

Obviamente, toda esta parte ignora la masa, lo cual es desafortunado, pero tengo que mantenerlo simple por ahora. El factor "masa" se incluye en los números de 's' y 'c', que yo manipulo hasta que me parece correcto.

Bien, ahora que habéis dejado de estremeceros de horror ante este planteamiento tan poco convincente, la parte que estoy tratando de entender es la del cuerpo humano que dobla las piernas y luego realiza el movimiento de salto para sumar su fuerza al rebote del trampolín.

Me parece, después de haber pasado un poco de tiempo en un trampolín, que se puede saltar en el momento adecuado y en el momento equivocado.

Entonces, desde una perspectiva física, ¿cuál es el momento óptimo para agacharse? ¿Cuándo es el momento óptimo para saltar / soltar?

Answer 1

Haré las siguientes suposiciones aproximadas:

1. La superficie de un trampolín tiene una densidad de masa nula. Esto implica que estar de pie o agachado no afectará instantáneamente a la posición de tu centro de gravedad.
2. La fuerza restauradora hacia arriba es una función monótona del desplazamiento vertical.
3. Los humanos pueden enderezar sus piernas en tiempo cero. Esto es sólo una forma de evitar detalles de optimización adicionales.

Si esto se mantiene, el mejor momento para agacharse es antes de aterrizar, y el mejor momento para enderezar las piernas es cuando la velocidad es cero (es decir, cuando la altura es mínima). Este comportamiento optimiza tres cantidades:

1. La energía cinética que ganas antes de llegar al trampolín se maximiza. Como estás en posición agachada, tu centro de gravedad desciende más antes de que la fuerza restauradora empiece a frenarte.
2. Se minimiza la altura de su centro de gravedad cuando su velocidad llega a cero. Esto se debe a que para una posición fija de tu centro de gravedad, la fuerza de recuperación se minimiza cuando estás en posición agachada.
3. El trabajo realizado por los muelles para liberarte es máximo. Si usted fija $h_0$ para ser el desplazamiento de tu centro de gravedad donde estás parado, la energía impartida es la integral $\int_{h_0}^0 F ds$ de la fuerza restauradora con respecto al desplazamiento. Para cualquier posición fija de tu centro de gravedad, la fuerza restauradora es máxima cuando estás en posición de pie.

Si observas a los gimnastas experimentados que ganan altura, verás que enderezan las piernas bruscamente cuando llegan al fondo y se dejan llevar por el trampolín.

Answer 2

Su prueba de (2) es incorrecta. Los cuantificadores son incorrectos. Has demostrado que para cualquier $N$ (barrio de $x$ en el resto): $N$ se cruza con $E$ o $N$ se cruza con $F$ . Pero hay que demostrar (para cualquier $N$ : $N$ se cruza con $E$ ) o (para cualquier $N$ , $N$ se cruza con $F$ ), es decir, que se interponga el mismo para cualquier $N$ . Así que hay que argumentar por contradicción: supongamos $x \in \overline{E \cup F}$ pero $x \notin \overline{E}$ y $x \notin \overline{F}$ . Estos 2 últimos implican que hay una vecindad $N_1$ de $x$ que falla $E$ y un barrio $N_2$ de $x$ que falla $F$ . Pero entonces $N_1 \cap N_2$ es una vecindad de $x$ también y esto se pierde $E \cup F$ , contradiciendo que $x \in \overline{E \cup F}$ . Hecho.

Answer 3

¿Puede ser más específico sobre lo que quiere decir con "razonable"?

El tratamiento más sencillo, ignorando la pérdida de energía por calor/fricción/etc, sería aproximar el cuerpo humano como una masa puntual que cae sobre un muelle (es decir, el trampolín) con alguna constante de muelle $k$ . Aquí tenemos la energía potencial inicial del cuerpo que cae - $PE = mgh$ ésta se transforma por completo en energía cinética en el momento del impacto $KE = \frac{1}{2}mv^2$ y se estira el trampolín para convertirlo en energía potencial del muelle - $SPE = \frac{1}{2}kz^2$ , donde $z$ es la distancia de compresión. Dado que la suma de la energía potencial en el muelle (SPE) y la energía cinética del cuerpo que cae (KE) es constante, se puede resolver la velocidad a una determinada compresión del muelle: sea $C = SPE + KE$ , lo que implica $v = (\frac{2C-kz^2}{m})^\frac{1}{2}$ . La derivada con respecto a $z$ es $v' = \frac{-kz}{m(\frac{2C-kz^2}{m})^\frac{1}{2}}$ .

En cuanto al rebote del cuerpo hacia arriba, hay que partir de la energía cinética en el momento del impacto y jugar al mismo juego en el que la suma de la energía cinética del cuerpo (KE) y la energía potencial debida a la gravedad (PE), de nuevo $PE = mgh$ (para una cierta altura $h$ ), es constante. Por lo tanto, tenemos $C = PE + KE$ , lo que implica $v= (2)^\frac{1}{2}(\frac{C-mgh}{m})^\frac{1}{2}$ . La derivada con respecto a $h$ es $v' = \frac{-g}{(-2gh+\frac{2C}{m})^\frac{1}{2}}$ .

Un tratamiento más complejo implicaría la pérdida de energía debida al calor y al estiramiento irreversible de la tela del trampolín, la resistencia del aire sobre el cuerpo que cae, etc. Se podrían añadir algunos términos para tenerlo en cuenta. En cuanto a un tratamiento más complejo del cuerpo humano, es decir, una especie de modelo de muñeco de trapo, no cambia nada fundamental, pero te resultará mucho más difícil encontrar la velocidad instantánea de cada una de las partes del cuerpo, así como la velocidad de compresión de tu trampolín en un momento dado. Para conseguir tracción, probablemente tengas que hacer algo como una simulación de bola y muelle del cuerpo, y definir con más precisión cómo caerá en la cama elástica.

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Algunas unidades sugeridas para los términos:

$g$ o "pequeño $g$ ' denota la aceleración debida a la gravedad cerca de la superficie terrestre (http://en.wikipedia.org/wiki/Earth%27s\_gravity). Su valor es aproximadamente $~9.81 \frac{m}{s^2}$ .

$v$ su velocidad, se puede medir en metros/segundo, $\frac{m}{s}$ .

$m$ o su masa, se puede medir en kilogramos ( $kg$ ).

Esto funciona bien si se miden los términos que representan la energía (es decir, PE, SPE, KE y 'C') en julios, ya que las unidades para un julio son: $\frac{kg*m^2}{s^{-2}}$ .

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En cuanto a cómo debe "verse" el trampolín cuando se deprende a distancia $z$ quizás se podría modelar como un cono invertido de altura $z$ (http://mathworld.wolfram.com/Cone.html)?

Answer 4

No quiero lanzar una moza en las obras PERO puedes saltar en la bahía del trampolín sólo moviendo los brazos hacia arriba y hacia abajo. El desplazamiento de la masa y el cambio de impulso de la bahía moviendo los brazos hacia abajo en el momento del contacto aumenta la masa hacia el trampolín y luego lanzándolos hacia arriba acelera el cuerpo en la dirección de desplazamiento. Lo hacemos instintivamente, pero el problema de calcular esto es que el saltador no mantiene los brazos rectos. Ahora bien, si se tiene en cuenta que hacemos un movimiento similar con nuestros rezagos se tiene un infierno de cálculo sólo considerando el cambio de masa en el aire. Calcular la capacidad elástica del trampolín es bastante sencillo, pero la capacidad de trabajo de cada persona es algo totalmente diferente. Un saltador experimentado puede lograr una altura impresionante en la bahía simplemente desplazando su masa de una manera muy precisa.