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Excepto para los casos obvios $n=0,1$, hay valores de $n$ tal que $\sum_{k=1}^n\sqrt k$ es un número entero? ¿Cómo acercarse a un problema? (Esto no es tarea - sólo un problema, pensé.)
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No, no es un número entero.
Deje $p_1=2<p_2<p_3<\cdots <p_k$ ser todos los números primos $\le n$. Se sabe que $$K=\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2},\ldots,\sqrt{p_k})$$ is a Galois extension of the rationals of degree $2^k$. El grupo de Galois $G$ es un elemental abelian 2-grupo. Un automorphism $\sigma\in G$ está totalmente determinado por una secuencia de $k$ signos $s_i\in\{+1,-1\}$, $\sigma(\sqrt{p_i})=s_i\sqrt{p_i}$, $i=1,2,\ldots,k$.
Ver esta respuesta/pregunta de una prueba de la dimensión de este campo de extensión. Entonces hay varias maneras de obtener la teoría de Galois de reclamaciones. Por ejemplo podemos ver $K$ como un compositum de linealmente disjuntos cuadrática extensiones de Galois, o podemos utilizar la base dada en verificar que todas las anteriores mapas de $\sigma$ son distintos a los automorfismos.
Para la suma de $S_n=\sum_{\ell=1}^n\sqrt{\ell}\in K$ a ser un número racional, tiene que ser fijado por todos los automorfismos en $G$. Esta es una de las ideas básicas de la correspondencia de Galois. Pero, claramente, $\sigma(S_n)<S_n$ para todos los no-identidad automorfismos $\sigma\in G$, por lo que este no es el caso.
