Es muy bien sabido que (sobre la teoría base que es$\sf ZF$) las teorías$\sf ZF$ y$\sf ZFC$ son equiconsistent. ¿Se sabe lo mismo acerca de$\sf ZF+Con(\sf ZF)$ y$\sf ZFC+Con(\sf ZF)$? ¿Qué tal extender esto a niveles más altos de jerarquía de consistencia, a saber, son$\sf ZF_1+Con(ZF_2+Con(...+Con(ZF_n)...))$ todos equiconsistent, donde$\sf ZF_i\in\{ZF,ZFC\}$?
Miré un poco en la web, pero no pude encontrar referencias.
Gracias por adelantado.
Sí. Dada una instrucción aritmética $\varphi$, $\sf ZF+\varphi$ es equiconsistent con $\sf ZFC+\varphi$.
Para ver por qué, en primer lugar observamos que una implica la otra trivialmente. Si $\sf ZFC+\varphi$ sostiene, a continuación, $\sf ZF+\varphi$ es cierto.
En la otra dirección si $M$ es un modelo de $\sf ZF+\varphi$, $L^M$ es un modelo de $\sf ZFC$. Pero en cuanto a $M$ le preocupa, $M$ $L^M$ tienen los mismos números naturales y la misma estructura de la aritmética. Por lo tanto tienen la misma teoría.
Debido a que la instrucción "$X$ es una estructura de la lengua $\cal L$, e $\varphi$ es una declaración verdadera en $X$ " $\Delta_0$ declaración (con parámetros $X$, $\cal L$ y $\varphi$). Y así, si el en $L^M$ una instrucción aritmética $\varphi$ se mantiene, entonces debe mantener en $M$.
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