¿Cómo se ve?

Question

¿Qué $[0,1]/\{\frac 1n : n \in \mathbb N \cup \infty\}$ aspecto - donde el coeficiente de operación es el cociente de la topología después de la identificación de este último con un punto?

Yo soy todo por curiosidad, si este espacio puede ser visualizado. Cualquier conjunto abierto en $[0,1]$ que no contiene uno de $\{\frac 1n : n \in \mathbb N \cup \infty\}$ se mantuvo sin cambios por el cociente de la operación - pero cualquier conjunto abierto que contiene a uno de estos puntos, a continuación, contiene todo de ellos, y, de hecho, contiene todos los puntos en el intervalo lo suficientemente cerca como para $0$.

Mi ingenua suposición es que este espacio es homeomórficos a la de Hawai pendiente - cada una de las $[\frac 1{n+1}, \frac 1n]$ se identifica con un círculo, y estos se convierten en "cada vez más pequeños" como $n$ disminuye (esto es topológicamente una tontería, pero no estoy seguro de cómo la palabra de una manera que no lo es, si esto es posible). Yo estoy en lo correcto en mi suposición? Si es así, cómo se podría ir sobre la prueba de la existencia de un homeomorphism?

Answer 1

El Hawaiano Pendiente $H$ es generalmente definido como el subespacio de $\Bbb R^2$ que es la unión de los círculos $C_n$ donde $C_n$ radio $1/n$ y el centro de la $(1/n,0)$.

Considerar los mapas $f_n:\left[\frac1{n+1},\frac1n\right]\to H$ definido por $$f_n(x)=\left(\frac1n,0\right)+\frac{e^{(2n(n+1)\pi i(x-1/(n+1)))}}n$$ Cada una de las $f_n$ mapas de su dominio en el círculo de $C_n$, identificar los puntos extremos del intervalo. Ahora considere el $f:[0,1]\to H$ definido por $$f(x)=\begin{cases} f_n(x), &\text{ if }1/n\ge x\ge 1/(n+1)\\ (0,0), &\text{ if }x=0 \end{casos}$$

Esta $f$ tiene un continuo de restricción en $(0,1]$ desde los dominios de la $f_n$ formulario localmente finito de la familia de conjuntos cerrados. Como $(0,1]$ es abierto en $[0,1]$, $f$ es continua en a $(0,1]$. Os dejo la prueba de la continuidad en$0$. Esta $f$ ahora induce un continuo bijection $\tilde f:[0,1]/\sim\to H$, que es un homeomorphism ya que el dominio es compacto y $H$ es de Hausdorff.