Ecuaciones de Movimiento de un Péndulo Físico

Question

Me gustaría formular las ecuaciones de movimiento de un tipo particular de física de péndulo, que se muestra en la figura adjunta.

La física péndulo consiste en una rueda que rueda sobre una tabla estrecha. Un péndulo brazo se apodera de la rueda y cuelga un peso. Como el péndulo oscila a la rueda rueda a lo largo de la superficie de madera.

Estoy teniendo problemas para trabajar el conocimiento de que el centro de rotación de la rueda está experimentando la traducción en la dirección horizontal.

Parámetros del sistema: - L, la distancia desde el eje de la rueda para que el péndulo del centro de la masa, es conocido - la masa de la rueda, m, y la masa del péndulo de la asamblea, M, son conocidos

Objetivo: - para encontrar el coeficiente de fricción de rodadura (mu_rolling) entre el volante y el tablero de madera - para encontrar el momento de inercia de la rueda (Iw) solo

Método: - Me gustaría para determinar las ecuaciones de movimiento del péndulo-la asamblea de la rueda en la dinámica utilizando el formulario de x, d(x)/dt, theta y d(theta)/dt como variables de estado.

¿Alguien puede ofrecer cualquier ayuda en la construcción de las ecuaciones?

Answer 1

Deje $x_1,\theta_1$ etc. con subíndice 1 se coordina de la parte superior de la masa, y las variables con subíndice 2 ser las coordenadas de la segunda masa. Así,el Lagrangiano puede ser construido como: $$ L = 1/2M\dot x_1^2 + 1/2 \ I\dot \theta_1^2+ 1/2m\dot x_2 + 1/2m\dot y_2^2 - mgy_2$$

Ahora, $$ y_2 = L \ cos(\theta_2) \\ x_2 = x_1 + L \ sin(\theta_2)$$
Creo que las cuentas de todas las restricciones pertinentes. Creo que nos deja con 3 coordenadas generalizadas, y por lo tanto 3 ecuaciones, creo (lo siento, mi memoria está un poco oxidado en este tema). Sustituyendo en y el uso de Euler-Lagrange ecuación iba a dar el resultado correcto, si no hay fricción: $$ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x_1} = \frac{\partial L}{\partial x_1} \ \ \ \ (1)$$ $$ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot \theta_1} = \frac{\partial L}{\partial \theta_1} \ \ \ \ (2)$$ $$ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot \theta_2} = \frac{\partial L}{\partial \theta_2} \ \ \ \ (3)$$ Ahora sólo tienes que tomar los derivados y que le daría su 3 ecuaciones de movimiento. Así que incluso sin fricción se obtiene 3 ecuaciones diferenciales acopladas, así que yo esperaría algo muy caótico. Para dar cuenta de fricción es necesario insertar un disipador, en función de Euler-Lagrange ecuación y que dependerá de qué tipo de fricción estamos modelado. O podríamos encontrar alguna otra forma inteligente de reintroducir la fricción y después de algún tipo de corrección (después tenemos nuestras ecuaciones de movimiento). Porque esto se siente es un poco el mismo resultado que Newtoniano enfoque se iba a producir, pero derivado de una manera más sencilla de moda, yo estaba pensando que sólo se adhieren fricción como el arrastre y el par de términos en la ecuación 1 y 2, pero no estoy seguro de si eso está permitido (si alguien, que tiene una mejor comprensión, me puede decir si soy o no permitido hacer a los que aprecio mucho eso).

EDIT: di cuenta de que si el modelo de este sistema con la simple estática, independiente de la velocidad de fricción no hay ninguna razón para tratar a la parte superior de la masa como de la rueda, como bien podría ser un punto de masa en un tren, el movimiento de rotación de la parte superior mas no juega ningún papel en el movimiento de la parte inferior de la masa.

Answer 2

Considerar el brazo en masa y de longitud de $L$.

Dos pares de actuar ahora en el volante:

$F_1L=mgL \sin \theta $

Y:

$F_fR=\mu NR$

Con:

$N=Mg+mg=(M+m)g$

Así:

$F_f=\mu (M+m)gR$

La segunda ley de Newton (de aquí en rotación) nos dice:

$$I\alpha=-mgL\sin \theta+\mu (M+m)gR$$ O: $$I\frac{d^2\theta}{dt^2}+mgL\sin \theta=\mu (M+m)gR$$

Si aceptamos el pequeño ángulo de aproximación:

$$\sin \theta \approx \theta$$

$$I\frac{d^2\theta}{dt^2}+mgL\theta=\mu (M+m)gR$$

Esto la ecuación de movimiento de un oscilador armónico simple y, por supuesto, pueden no ser la verdadera ecuación del sistema, como la resistencia a la rodadura sin duda actúa como un amortiguador.

El problema es que $F_f$ como se define aquí, ni siquiera cambiar de dirección.

Para obtener algo como el OP del segundo boceto, que es un Underdamped Oscilación, $F_f$ tendría que ser de la forma:

$$F_f=-c\frac{d\theta}{dt}$$