Geodésicas en variedades compactas

Question

Dejemos que $M$ sea una variedad lisa, compacta y conectada. Si $p, q$ son puntos en $M$ ¿existe siempre una geodésica que va desde $p$ a $q$ ?

Sé que esto no es cierto si $M$ no es compacto, pero no he podido encontrar un contraejemplo para el caso compacto.

¿Puede alguien ayudarme?

Gracias,

S.

Answer 1

Sí. Esto es parte del teorema clásico de Hopf-Rinow, q.v.

Answer 2

Sólo hay que minimizar la energía del camino en la clase de homotopía de los caminos que conectan p y q.