¿Por qué no es común la notación invariante?

Question

En principio, uno puede escribir cantidades de manera manifiestamente invariante, en lugar de covariante, por ejemplo, en la relatividad especial. Por ejemplo, en lugar de escribir solo $x^\mu$, podríamos escribir la base explícitamente y pedir que la base se transforme de manera opuesta a los componentes, $$ x = x^\mu e_\mu^{(i)}, $$ de modo que $x$ sea invariante. ¿Por qué no es más común tal notación invariante en, por ejemplo, la relatividad especial y general? ¿Los matemáticos también trabajan con lenguaje covariante o lenguaje invariante?

¿Es porque la base desaparece en contracciones si la base es ortonormal? por ejemplo, $$ x(y) = x^\mu e_\mu y_\nu e^\nu = x^\mu y_\nu \delta^\nu_\mu = x^\mu y_\mu $$

Answer 1

Un físico escribiría tu primera ecuación $x^a = x^\mu e_\mu^a$. La notación $x^a$ es invariante en tu terminología. La $a$ es un índice abstracto. Supuestamente no se supone que represente un conjunto de valores numéricos, sino que es solo un marcador que indica que $x$ es un vector (es decir, un tensor de rango 1,0). De manera similar, para cada $\mu$, $e^a_\mu$ es un vector. Puedes leer más sobre la notación de índices abstractos en wikipedia.

Answer 2

Comentarios a la pregunta (v5):

1. En la Relatividad General (GR), la notación $x^{\mu}$, $\mu=0,1,2,3$, generalmente denota algunas coordenadas (locales) de una variedad (espaciotiempo) $M$. Tenga en cuenta que $x^{\mu}$ generalmente no se transforma como un tensor $(1,0)$ (contravariante) en el sentido de que $$ x^{\prime \nu}~=~\frac{\partial x^{\prime \nu}}{\partial x^{\mu}} x^{\mu} \qquad (\leftarrow\text{¡Erróneo en general!} )$$ bajo transformaciones de coordenadas $x^{\prime \nu}=f^{\nu}(x)$. Por lo tanto, no hay un concepto físico útil de una base de vectores en GR para las coordenadas locales subyacentes del espaciotiempo. [En la Relatividad Especial (SR), las transformaciones de coordenadas están restringidas a transformaciones afines $x^{\prime \nu}=\Lambda^{\nu}{}_{\mu} x^{\mu}+ a^{\nu}$ en un espacio afín.]

2. Por otro lado, si se supone que la notación $x^{\mu}$ denota un tensor $(1,0)$ (contravariante) [en lugar de coordenadas locales del espaciotiempo], entonces uno es bienvenido, por supuesto, a introducir una base dual correspondiente $e_{\mu}$ que se transforme de manera opuesta para mantener invariante $x=x^{\mu}e_{\mu}$. En general, probablemente sea un ejercicio fútil discutir cuál notación es la mejor.$^1$

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$^1$ Sin embargo, eche un vistazo, por ejemplo, a esta respuesta de Phys.SE.