¿Es posible probar la unicidad sin usar la prueba por contradicción?

Question

Hasta ahora, he sido presentado a varias pruebas de singularidad:

• Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org
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Para la teoría de conjuntos, campos, etc. Y parece que todos confían en la prueba por contradicción. Por lo menos, en el momento actual, he buscado un poco para él y todas las pruebas parece emplear esta técnica. Entonces, ¿es posible demostrarlo sin él?

Answer 1

A menudo no hay necesidad de contradicción; para decir que no hay un único objeto de $x$ satisfacer algunas de fórmula $\varphi(x)$ es decir que

• Existe $x$ satisfacción $\varphi(x)$ - simbólicamente, esto es $\exists x\, \varphi(x)$;
• Si $x,y$ son tales que $\varphi(x)$ $\varphi(y)$ son verdaderas, $x=y$ - simbólicamente, esto es $\forall x \forall y (\varphi(x) \wedge \varphi(y) \to x=y)$.

Así que usted puede probar la unicidad por primera suponiendo $x$ $y$ son objetos para los que se $\varphi(x)$ $\varphi(y)$ son ambas verdaderas, y derivando $x=y$. Probablemente usted ha hecho esto mil veces sin darse cuenta. Por ejemplo

• No hay un único conjunto vacío. Para ver esto, supongamos que $A$ $B$ están vacías conjuntos. Para cualquier $x$, las declaraciones $x \in A$ $x \in B$ son falsas, por lo que el $x \in A \Leftrightarrow x \in B$ es cierto. Por el axioma de extensionality, $A=B$.
• Cada grupo (o incluso monoid) tiene un único elemento de identidad. Para ver esto, vamos a $G$ ser un grupo y supongamos $u,v \in G$ satisfacer $ug=g=gu$ $vg=g=gv$ todos los $g \in G$. A continuación, $u=uv$ desde $v$ es un elemento de identidad, y $uv=v$ desde $u$ es un elemento de identidad, por lo $u=v$.
• Cada vez que usted demostrar que una función es inyectiva, estás demostrando una singularidad resultado. Decir que una función $f : X \to Y$ es inyectiva, es decir que, para todos los $y \in \mathrm{im}(f)$, no existe un único $x \in X$ tal que $f(x)=y$. Esto está demostrado por mostrar que si $x,x' \in X$ con $f(x)=f(x')$ ($=y$), a continuación,$x=x'$.

Answer 2

Usted está probablemente en la estructuración de la singularidad de pruebas como, "se asume que existen dos diferentes cosas, hemos de probar que son la misma, una contradicción." Simplemente elimine la palabra "diferente". Ahora no es una contradicción.

Este es un cuasi-error donde la gente empezar por asumir la frente de algún tipo de entrenamiento o acondicionamiento, entonces en realidad no uso la suposición falsa.

Por tu comentario, realmente me hacen ver por qué esto se siente contra el grano. En realidad no debería pensar en una prueba que dice: "Supongamos que hay dos objetos que satisfacen cierta propiedad, entonces *insertar matemáticas* resulta que eran el mismo objeto a lo largo de todos!" como una contradicción.

Con esa actitud probablemente caída de falsas pruebas que $0=1$, como: Vamos a $a=b$. A continuación,$a-a=b-a$$\frac{a-a}{b-a} = 1$. Pero $a-a=0$$0=1$. Si usted no ve la falla, he aquí una sugerencia: piense acerca de lo $b-a$ es. Este es el tipo de error que va a hacer cuando tu intuición piensa en algo que se llama $a$ y algo llamado " $b$ como dos objetos diferentes, porque tienen diferentes etiquetas. Si $x=y$ es eso una contradicción? No, que suena tonto y lo que es.

Por la tangente, ¿has pensado en la prueba de que $0.999\ldots = 1$? Un gran problema y muchas, muchas personas tienen el mal de la intuición - que los números deben ser diferentes - porque está escrito de manera diferente. Resulta que el mismo número puede tener dos formas diferentes de escribir por expansión decimal. Las personas son muy incómodos. Nunca has pensado en números como entidades abstractas existente independientemente de sus representaciones decimales, y si el decimal representaciones de tinta sobre el papel, son diferentes, entonces los números debe ser. Pero esto es falso. Para un determinado número real $x$, siempre hay (creo) de dos decimales de las representaciones, que no termina en $000$s y termina en $999$s.

Answer 3

Usted puede frase de una singularidad prueba de lo que no es una prueba por contradicción, pero conserva el mismo carácter. Por ejemplo, supongamos que queremos demostrar que la identidad aditiva en un campo de $F$ es único.

La prueba por contradicción: Vamos a $0 \in F$ ser un aditivo de identidad, y supongamos que existe otra identidad aditiva $0' \in F$,$0' \not= 0$. Entonces: $0 = 0 + 0' = 0'$. Esto contradice la suposición de que $0' \not= 0$.

Otra prueba: Supongamos $0' \in F$ tiene la propiedad de que $a + 0' = a$ todos los $a \in F$. A continuación, considere el caso en que $a = 0$; vemos que $0 = 0 + 0' = 0'$. Por lo tanto, el único de identidad aditiva en el campo de la es $0$.

Misma idea, palabras diferentes :)

Answer 4

Para probar la unicidad usamos la propiedad inyectiva.

Supongamos que queremos demostrar que la solución a$2x + 1 = 0$ es única.

Vamos$f(x) = 2x + 1.$ Let$a, b \in \mathbb R$. Asume que$f(a) = f(b).$ Then$2a + 1 = 2b + 1$ implica que$a = b.$ Por lo tanto,$f$ es inyectivo y la solución es única.