Cohomología de De Rham para colectores no compactos

Question

Deje $M$ ser un no-compacto diferencial del colector. Es cierto que, en general, $H^q_c(M) \neq H^q(M)$ donde $H^q_c$ es el de Rham del cohomolgy con el compacto grupo de apoyo y $H^q$ es el habitual de Rham del cohomology grupo.

Hemos empezado el tema, así que no tengo mucha confianza con él. Quería preguntar: ¿es cierto que para cualquier no-compacto $M$ existe un $q$ que $H^q_c (M) \neq H^q(M)$? O hay ejemplos de no-compacto de colectores para que los dos cohomologies son los mismos para todos los $q$?

EDIT: ok, a partir de los comentarios me di cuenta de que si este ejemplo no existe debe ser no-orientable (una referencia a una prueba sería bueno, aunque creo que el resul es bastante no-elemental). La pregunta aún sigue abierto a pesar de (que es mi principal razón para editar: creo que esta pregunta no reciben suficiente atención).

Answer 1

Sea$M$ un colector no compacto conectado. Entonces y $H_c^0(M)\cong 0$.

Sea$H^0(M)\cong\mathbb{R}$ una función con$f:M\rightarrow \mathbb{R}$. Entonces$df=0$ es constante (esto usa la conexión de$f$). Si se supone que$M$ está soportado compactamente, esta constante debe ser cero. Si no se supone que$f$ está soportado de forma compacta, se producen todas las constantes.