Expresando$\sum_{n=-\infty}^\infty\dfrac{1}{z^3-n^3}$ en forma cerrada

Question

Quiero expresar$$\sum_{n=-\infty}^\infty\dfrac{1}{z^3-n^3}$ $ en forma cerrada.

Sé que$$\pi z\cot(\pi z)=1+2z^2\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{z^2-n^2}$ $ que se ve muy cerca, pero no sé cómo usarlo.

Answer 1

La suma puede ser evaluado usando el teorema de los residuos. Básicamente, se considera la integral

$$\oint_C dw \, \pi \, \cot{\pi w} \, f(w)$$

donde $f(w) = (z^3-w^3)^{-1}$, e $C$ es un contorno rectangular con los vértices $$\pm (N+1/2) (1\pm i) $$

tomado en un sentido antihorario. Para resumir: el contorno de la integral es cero (las contribuciones desaparecer lo suficientemente rápido como $N \to \infty$ - gracias, @markoriedel. Consulte las páginas 76-78 de esta referencia para un total de derivación.)), pero también es igual a la suma de los residuos en los polos. Los polos de la cotangente son los números enteros, por lo que tenemos

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = - \pi \sum_k \operatorname*{Res}_{w=w_k} [\cot{\pi w} \, f(w)]$$

Con la $f(w)$ tenemos, los polos están en$w=z$$w=z e^{\pm i 2 \pi/3}$. Como todos los polos son simples, tenemos

$$\operatorname*{Res}_{w=z} \frac{\pi \, \cot{\pi w}}{z^3-w^3} = -\frac{\cot{\pi z}}{3 z^2}$$

$$\operatorname*{Res}_{w=z e^{i 2 \pi/3}} \frac{\pi \, \cot{\pi w}}{z^3-w^3} = -\frac{\cot{\left (\pi z e^{i 2 \pi/3}\right )}}{3 z^2 e^{-i 2 \pi/3}}$$

$$\operatorname*{Res}_{w=z e^{-i 2 \pi/3}} \frac{\pi \, \cot{\pi w}}{z^3-w^3} = -\frac{\cot{\left (\pi z e^{-i 2 \pi/3}\right )}}{3 z^2 e^{i 2 \pi/3}}$$

Tan sólo tenemos que la suma de estos. El reto es, esencialmente, la evaluación de la cotangente del número complejo, pero es muy sencillo y el resto es álgebra.

Tenga en cuenta que podemos expresar el resultado como

$$\frac{\pi}{3 z^2} \left [\cot{\pi z} + 2 \Re{\left [\cot{\left ( \pi z e^{i 2 \pi/3}\right ) e^{i 2 \pi/3}} \right ]} \right ] $$

que se simplifica a

$$\frac{\pi}{3 z^2} \left [\cot (\pi z)+\frac{\sin (\pi z)+\sqrt{3} \sinh \left(\sqrt{3} \pi z\right)}{\cosh \left(\sqrt{3} \pi z\right)-\cos(\pi z)}\right ]$$

o, finalmente,

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{z^3-n^3} = \frac{2 \pi}{3 z^2} \frac{\sqrt{3} \sin (\pi z) \sinh \left(\sqrt{3} \pi z\right)+\cos(\pi z) \cosh \left(\sqrt{3} \pi z\right)-\cos (2 \pi z)}{2 \sin (\pi z) \cosh \left(\sqrt{3} \pi z\right)-\sin (2 \pi z)} $$

Aquí un complot para $z \in [0.1,0.9]$ tanto en la expresión anterior y una aproximación numérica a la suma sólo para asegurarse de que:

Answer 2

Primero reescribirlo como:

ps

Así que sólo necesitamos encontrar:

ps

Ahora, si$$\frac{1}{z^3} + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{z^3-n^3} + \frac{1}{z^3+n^3}\right) = \frac{1}{z^3} +\sum_1^\infty \frac{2z^3}{z^6-n^6}$ es una raíz primitiva de cubo de unidad, hay funciones$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{z^6-n^6}$ tal que para real$\omega$:

ps

Estableciendo$a(u),b(u),c(u)$ y$u\neq v$, y encontrando una solución$$\frac{1}{u^3-v^3} = \frac{a(u)}{u-v} +\frac{b(u)}{\omega u -v} + \frac{c(u)}{\omega^2u-v}$ para que$u=z^2$, entonces tenemos:

ps

Así que podemos usar su primer resultado para encontrar:

$v=n^2$ $ Donde$\zeta$ $ Eso parece un poco complicado y requiere saltar a números complejos ...

Answer 3

Suponiendo que se está refiriendo al libro de Ahlfors, aquí hay un método que depende de él:

Comenzando con una descomposición de fracción parcial wrt$n$ encontramos

$$\frac{1}{z^3-n^3}=\frac{ \rho_3^0}{3z^2} \frac{1}{ \rho_3^0 z-n}+\frac{\rho_3^1}{3z^2} \frac{1}{ \rho_3 z-n}+\frac{\rho_3^2}{3z^2} \frac{1}{ \rho_3^2 z-n} $$ where $ \ rho_3 = \ exp (2 \ pi i / 3)$. Using the formula $% de la página 189 tres veces debe darle el resultado deseado. Añadiré que como la serie converge en el sentido usual, también converge con esta "suma de valor principal".

Answer 4

He aquí un formulario cerrado por Maple

$ \ Frac {2} {3} \, {\ frac {\ pi \, \ izquierda (- \ cos \ izquierda (2 \, \ pi \, z \ derecha) \ sqrt {3} \ sin \ left (\ Pi \, z \ derecha) \ sinh \ left (\ pi \, z \ sqrt {3} Z \ sqrt {3} \ derecha)} {{z} ^ {2} \ izquierda (\ \ \ \ \ \ Sqrt {3} \ derecha) - \ sin \ left (2 \, \ pi \, z \ right) \ right)}}. $$