Función lineal y conmutativa sobre matrices cuadradas.

Question

Encuentra todas las funciones$f$, tal que$f(mA+nB) = mf(A) + nf(B)$ y$f(AB) = f(BA)$, donde$A, B$ son matrices cuadradas y$ m,n$ son escalares. Necesidad de encontrar$f$ como una función explícita de cualquier matriz general M.

Observé que$Trace(M)$ es una función válida que satisface la condición, pero cualquier aproximación metódica para encontrar las funciones sería útil.

Answer 1

Deje $f$ ser cualquier función.

Para cada una de las $i$ $j$ deje $E_{ij}$ el valor del $n \times n$ matriz con un $1$ de la fila $i$ columna $j$ entrada y ceros en todas las demás. Deje $I$ el valor del $n \times n$ matriz identidad. Usted debe ser capaz de demostrar o convencer a ti mismo que para cualquier $i$, $j$, $k$, y $l$ que $$ E_{ij} E_{kl} = \delta_{jk} E_{il} $$ donde $\delta_{jk} = 1$ si $j = k$ $\delta_{jk} = 0$ lo contrario (que puede ayudar a pensar en términos de transformaciones lineales en lugar de matrices aquí: $E_{ab}$ envía el $b$th estándar de la base de vectores a la $a$th estándar de la base de vectores, y envía y todos los otros vectores de la base a $0$).

Podemos deducir de esto que para cualquier $i$ uno tiene $$ f(E_{ii}) = f(E_{i1} E_{1i}) = f(E_{1i} E_{i1}) = f(E_{11}), $$ y desde $I = \sum_{i=1}^n E_{ii}$ se sigue que $f(E_{ii}) = \frac{1}{n} f(I)$ todos los $i$.

Desde sus supuestos implican que $f(0) = 0$, también podemos deducir de lo anterior que para cualquier $i \neq j$ hemos $$ f(E_{ij}) = f(E_{i1} E_{1j}) = f(E_{1j} E_{i1}) = f(\delta_{ji} E_{11}) = f(0 E_{11}) = f(0) = 0. $$ Conclusión: para cualquier matriz $M = (a_{ij})_{i,j=1}^n$ hemos $$ f(M) = f\left(\sum_{i,j=1}^n a_{ij} E_{ij}\right) = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} f(E_{ij}) = \sum_{i=1}^n a_{ii} f(E_{ii}) = \sum_{i=1}^n a_{ii} \left( \frac{f(I)}{n}\right) = \frac{f(I)}{n} \operatorname{trace}(M) $$ de modo que $f$ es un escalar varios de los habituales de seguimiento (= la suma de la diagonal de entradas). Desde que claramente cualquier escalar múltiples de la traza tiene las propiedades deseadas, esto proporciona una caracterización completa del conjunto de funciones que se fueron en busca de describir.