Cálculo del número de clase (campo ciclotómico)

Question

¿Cómo se demuestra que el número de clase de$\mathbb{Q}(\zeta_{23})$ es divisible por$3$? Y después cómo demuestra que es precisamente$3$. ¿Alguna ayuda?

¡Gracias por adelantado!

/ / Ok, así que probé la divisibilidad (yo estaba muy cansado de pedir esto para sugerencias que supongo). ¿Y la igualdad?

Answer 1

Como usted probablemente descubierto en el momento de su edición, la divisibilidad es bastante directa. Por la clase de teoría de campo, el grupo de clase de $\mathbb{Q}(\zeta_{23})$ surjects en $\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$, que tiene la clase número 3, por un (relativamente) fácil de cálculo. Así voila! La divisibilidad.

Encontrar los números de la clase de cyclotomic campos en generalmente un problema difícil. Pero para $p=23$, el más pequeño no trivial caso, las cosas no son tan horrendo. Como describo a continuación, el peor de la computación proviene de la real cyclotomic subcampo. Así que a pesar de SAGE puestos de venta en un intento directo para encontrar el número de la clase de $\mathbb{Q}(\zeta_{23})$ (sin asumir, dicen, GRH, etc.), podría eventualmente ser reconstruido como sigue:

• El Minkowski obligado para $\mathbb{Q}(\zeta_{23}+\zeta_{23}^{_1})$ es una mera 900, frente a los 9 millones o así, por $\mathbb{Q}(\zeta_{23})$. Un brutal de las fuerzas de la factorización de números primos en el rango concluye que el real cyclotomic campo tiene la clase número 1.

• Kummer la fórmula de la relación número de clase: $$ h_{23}^-:=\frac{h(\mathbb{Q}(\zeta_{23})}{h(\mathbb{Q}(\zeta_{23}+\zeta_{23}^{-1}))}=-\frac{23}{2^{10}}\prod_{1\leq k\leq \frac{p-1}{2}} B_{1,\omega^{2k+1}} $$ evalúa a 3.

Ninguno de estos se podría hacer en menos de un par de minutos por lado, pero podría hacerlo si estuvieras perdido en una isla desierta y había que matar el tiempo. En cualquier caso, una vez logrado, los ponemos juntos para conseguir $$ h_{23}=h_{23}^+h_{23}^-=3\cdot 1=3. $$ Esto probablemente no es el enfoque más eficaz (aunque no creo que algo tan resbaladizo como el Odlyzko límites se aplican) -- en 1982, el papel de "Clase Número de Cálculos de Real Abelian Número de Campos" por van der Linden establece una gran cantidad de estos pequeños real cyclotomic los números de la clase con un mínimo de potencia de cálculo (pero un montón de trabajo!).

Para más up-do-fecha de estado-de-la-asuntos, ver Schoof de 2002 artículo "los Números de la Clase de la Real Cyclotomic Campos de Primer Director de orquesta," sobre todo por su muy clara exposición de las dificultades de cálculo (que terminan siendo lineales algebraicas de la teoría de la...de Jordan-Hölder factores de los grupos de unidades modulo cyclotomic unidades, visto como un módulo sobre el anillo de grupo de la real cyclotomic grupo de Galois). Peor aún, ni siquiera es un "asintótico" problema en el sentido de que nuestros algoritmos se vuelven ineficientes sólo para los cada vez más grandes $p$. Como de Schoof masiva de cálculo en el año 2002, citado anteriormente, no sabemos de uno solo de estos $h(K^+)$'s para asegurarse de $p\geq 71$, y sólo levantarse a$p=163$, bajo el supuesto de GRH.