Teorema del análisis complejo

Question

Tengo una demostración del siguiente teorema pero me gustaría saber si hay una demostración más elegante o sencilla. ¿Puedes demostrarlo o refutarlo, por favor (mostrando los pasos)?

Dada una función mereomorfa no constante $f$ entonces existe al menos un bucle continuo sobre el plano complejo extendido $g$ tal que $fg$ mapea los reales a los reales biyectivamente.

Answer 1

En realidad, tu afirmación, tal y como está planteada, es errónea incluso para las funciones racionales.

En efecto, consideremos la función

$$f:z\mapsto i\cdot\frac{z^2-1}{z^2+1}.$$

La preimagen del eje real (incluyendo $\infty$ ) bajo este mapa es el círculo unitario $\mathbb{T}$ .

Sin embargo, el mapa $f:\mathbb{T} \to \mathbb{R} \cup \{\infty\}$ no es inyectiva en el círculo unitario (es un mapa de cobertura 2-1).

Para las funciones meromórficas, se puede ir aún más lejos: Toma el mapa $$f:z\mapsto i\cdot \frac{e^z-1}{e^z+1}.$$ (La preimagen del eje real aquí es sólo el eje imaginario. Así que una vez más, esta preimagen es una simple curva cerrada cuando añadimos $\infty$ pero el mapa es un mapa de cobertura infinito a uno.

Sin embargo, podemos demostrar lo siguiente. Sustituiré el eje real extendido por el círculo unitario por comodidad (para obtener el enunciado original, basta con componer con una transformación de Möbius como en los ejemplos anteriores).

Teorema. Dejemos que $f$ sea una función meromorfa no constante. Entonces existe una curva cerrada no trivial $$\gamma\subset f^{-1}(\mathbb{T})\cup\{\infty\}$$ tal que $f(\gamma\cap\mathbb{C})$ es un subconjunto denso de $\mathbb{T}$ .

Esbozo de prueba. Dejemos que $D$ sea el disco unitario, y sea $V$ sea un componente conexo de $f^{-1}(D)$ .

Si $V$ no está simplemente conectado, dejemos que $\gamma$ sea el límite de uno de los componentes complementarios de $V$ . Debería ser fácil ver que entonces $\gamma$ se asigna a $\mathbb{T}$ como un mapa de cobertura de grado finito.

Así que supongamos que $V$ está simplemente conectado. Es fácil ver que el límite de $V$ es localmente conectado cerca de cada punto finito. Como un continuo no puede dejar de ser localmente conectado en un solo punto, se deduce que la frontera de $V$ está localmente conectada. Por el teorema de Carathéodory, el límite es la imagen de una curva continua $\gamma:\mathbb{T}\to \partial V$ . Para ver que $f(\gamma\cap\mathbb{C})$ es denso en el círculo unitario, podemos simplemente aplicar el teorema de la estrella de Gross. Este teorema dice que una rama de la inversa de una función meromorfa puede continuarse analíticamente a lo largo de casi todos los rayos radiales. Esto completa la prueba.

Se puede hacer un análisis más detallado del comportamiento de los mapas de $f$ en la curva $\gamma$ . Por supuesto, si $f$ es racional, entonces podemos asegurar que $f$ mapas $\gamma$ a $\mathbb{T}$ como un mapa de cobertura de grado finito.