¿Por qué los poderes de $\exp(\pi\sqrt{163})$ ¿casi enteros?

Question

Me han incitado a hacer una pregunta en expansión este sobre la constante de Ramanujan $R=\exp(\pi\sqrt{163})$ .

Recordemos que $R$ es muy cercano a un número entero; en concreto $R=262537412640768744 - \epsilon$ donde $\epsilon$ se trata de $0.75 \times 10^{-12}$ . Llame aquí al número entero $N$ Así que $R = N - \epsilon$ .

Así que $R^2 = N^2 - 2N\epsilon + \epsilon^2$ . Resulta que $N\epsilon$ es a su vez casi un número entero, a saber $196884$ y así $R^2$ vuelve a ser un número casi entero. Más precisamente,

$$j(\tau) = 1/q + 744 + 196884q + 21493760q^2 + O(q^3)$$

donde $q = \exp(2\pi i\tau)$ . Para $\tau = (1+\sqrt{-163})/2$ y, por tanto $q = \exp(-\pi\sqrt{163})$ se sabe que el lado izquierdo es un número entero. Elevando al cuadrado ambos lados,

$$j(\tau)^2 = 1/q^2 + 1488/q + 974304 + 335950912q + O(q^2).$$

Para demostrar que $1/q^2$ es casi un número entero, podemos reordenar un poco para obtener

$$j(\tau)^2 - 1/q^2 - 974304 = 1488/q + 335950912q + O(q^2)$$

y queremos que el lado izquierdo sea casi cero. $1488/q$ es casi un número entero, ya que $1/q$ es casi un número entero; como q es pequeño, los términos de orden superior del lado derecho son pequeños.

Como señala Mark Thomas en esta pregunta , $R^5$ también está muy cerca de un número entero -- pero como he señalado, ese número entero no es $N^5$ . Esto no es especial para las quintas potencias. $R$ , $R^2$ , $R^3$ , $R^4$ , $R^5$ , $R^6$ difieren respectivamente del número entero más próximo en menos de $10^{-12}$ , $10^{-9}$ , $10^{-8}$ , $10^{-6}$ , $10^{-5}$ , $10^{-4}$ y $10^{-2}$ . Pero el método de demostración expuesto anteriormente no funciona para potencias superiores, ya que los coeficientes de las $q$ -ampliación de $j(\tau)^5$ (por ejemplo) crecen demasiado rápido. ¿Hay alguna explicación para el hecho de que estas potencias superiores sean casi enteras?

Answer 1

Según una de mis referencias Capítulo 11 del este libro de David Cox se supone que tiene una explicación completa de la pregunta que planteas.

Answer 2

Creo que lo correcto sería observar que $R^n$ es el término principal de $j(n\tau)$ como arriba. Entonces hay un polinomio modular $\Phi_n$ que satisface $\Phi_n(j(x),j(nx))=0$ . Para los pequeños $n$ presumiblemente podría resolver esto para $j(n\tau)$ en términos de $j(\tau)$ sobre todo porque las curvas modulares son racionales para n pequeño. La conclusión sería que $j(n\tau)$ es, de nuevo para pequeños $n$ un número entero.

Answer 3

Estoy un poco confuso. Sage me dice que R^10 no está particularmente cerca de un número entero. ¿Estoy perdiendo el punto aquí?