¿Por qué los poderes de $\exp(\pi\sqrt{163})$ ¿casi enteros?

Question

Me han incitado a hacer una pregunta en expansión este sobre la constante de Ramanujan $R=\exp(\pi\sqrt{163})$ .

Recordemos que $R$ es muy cercano a un número entero; en concreto $R=262537412640768744 - \epsilon$ donde $\epsilon$ se trata de $0.75 \times 10^{-12}$ . Llame aquí al número entero $N$ Así que $R = N - \epsilon$ .

Así que $R^2 = N^2 - 2N\epsilon + \epsilon^2$ . Resulta que $N\epsilon$ es a su vez casi un número entero, a saber $196884$ y así $R^2$ vuelve a ser un número casi entero. Más precisamente,

$$j(\tau) = 1/q + 744 + 196884q + 21493760q^2 + O(q^3)$$

donde $q = \exp(2\pi i\tau)$ . Para $\tau = (1+\sqrt{-163})/2$ y, por tanto $q = \exp(-\pi\sqrt{163})$ se sabe que el lado izquierdo es un número entero. Elevando al cuadrado ambos lados,

$$j(\tau)^2 = 1/q^2 + 1488/q + 974304 + 335950912q + O(q^2).$$

Para demostrar que $1/q^2$ es casi un número entero, podemos reordenar un poco para obtener

$$j(\tau)^2 - 1/q^2 - 974304 = 1488/q + 335950912q + O(q^2)$$

y queremos que el lado izquierdo sea casi cero. $1488/q$ es casi un número entero, ya que $1/q$ es casi un número entero; como q es pequeño, los términos de orden superior del lado derecho son pequeños.

Como señala Mark Thomas en esta pregunta , $R^5$ también está muy cerca de un número entero -- pero como he señalado, ese número entero no es $N^5$ . Esto no es especial para las quintas potencias. $R$ , $R^2$ , $R^3$ , $R^4$ , $R^5$ , $R^6$ difieren respectivamente del número entero más próximo en menos de $10^{-12}$ , $10^{-9}$ , $10^{-8}$ , $10^{-6}$ , $10^{-5}$ , $10^{-4}$ y $10^{-2}$ . Pero el método de demostración expuesto anteriormente no funciona para potencias superiores, ya que los coeficientes de las $q$ -ampliación de $j(\tau)^5$ (por ejemplo) crecen demasiado rápido. ¿Hay alguna explicación para el hecho de que estas potencias superiores sean casi enteras?

Answer 1

Otro punto de vista:

Como muestra la respuesta de David Speyer y FC, esta pregunta puede responderse sin ninguna teoría profunda adicional.

Sin embargo, me gustaría explicar una variante de sus argumentos que sitúa esto en un contexto un poco más amplio en relación con las formas modulares. También significa que podemos utilizar una técnica que facilita ver lo buenas que son estas aproximaciones en términos de la tasa de crecimiento de los coeficientes de la función j.

El hecho importante aquí es que cualquier función modular (para SL_2(Z)) con coeficientes enteros en su expansión q toma valores enteros en τ = (1+√(-163))/2 (y por tanto q = exp(-π√163)). Este hecho es en realidad una consecuencia de la integralidad del valor j aquí, ya que cualquier función de este tipo puede expresarse como un polinomio en j con coeficientes enteros (aunque cosas similares son ciertas en otros contextos, como las funciones modulares de nivel superior, donde no hay un generador canónico para el anillo de tales invariantes modulares).

Esto significa que, al igual que podemos utilizar la integralidad de

$j(\tau) = q^{-1} + 744 + O(q) $

para obtener una aproximación entera a $q^{-1}$ si tenemos una función modular $f_n$ con series de potencias de la forma

$f_n(\tau) = q^{-n} + integer + O(q)$ ,

podemos obtener una aproximación entera a $q^{-n}$ . La calidad de esta aproximación dependerá del tamaño de los coeficientes de la serie de potencias para el $O(q)$ parte.

Afortunadamente para nosotros, dicha función $f_n$ siempre existe (y es único hasta la adición de constantes enteras). ¿Cómo podemos construirlo? Una forma es tomar un polinomio apropiado en $j$ es decir, tomar una combinación lineal adecuada de $j, j^2, \cdots , j^n$ para obtener una función con la parte principal correcta. Está claro que funciona y, si se estudian los detalles, debería ser equivalente al planteamiento de FC y David.

Sin embargo, ahora que estamos en la onda de las formas modulares, tenemos otras herramientas a nuestra disposición. En concreto, otra forma de crear nuevas funciones modulares es aplicar operadores de Hecke a funciones modulares existentes, como por ejemplo $j$ . Esta resulta ser una forma eficaz de obtener funciones modulares del tipo que necesitamos, ya que los operadores de Hecke hacen cosas predecibles a las partes principales de las series q (por ejemplo, si $p$ es primo, $T_p j = q^{-p} + O(1)$ ). Voy a explicar cómo funciona para $n = 5$ aunque el método debería generalizarse inmediatamente a cualquier primo $n$ (compuesto $n$ puede ser un poco más complicado, pero no mucho).

La teoría de los operadores de Hecke nos dice que la función $T_5 j$ definido por

$$(T_5 j)(z) = j(5 z) + \sum_{i \ mod \ 5} j (\frac{z + i}{5})$$

es modular, con expansión q dada por

$$(T_5 j)(\tau) = q^{-5} + \sum_{n = 0}^{\infty} (5 c_{5n} + c_{n/5}) q^n$$ .

donde el $c_n$ son los coeficientes en

$$j(\tau) = q^{-1} + \sum_{n = 0}^{\infty} c_n q^n$$

(y $c_n = 0$ si $n$ no es un número entero).

Así que si como antes ponemos $q = e^{- \pi \sqrt{163}}$ encontramos que

$q^{-5} + 6 c_0 + 5 c_5 q + 5 c_{10} q^2 + 5 c_{15} q^3 + 5 c_{20} q^4 + (c_1 + 5 c_{25}) q^5 + \dots$

es un número entero.

Ahora, $q$ es aproximadamente $4 \cdot 10^{-18}$ y buscando los coeficientes de $j(z)$ en OEIS encontramos que

$q^{-5} + 6 \cdot 744 + 5 \cdot (\sim 3\cdot 10^{11}) (\sim 4\cdot10^{-18}) + \text{clearly smaller terms}$

es un número entero. Por lo tanto $q^{-5}$ debe desviarse de un número entero en aproximadamente $6 \cdot 10^{-6}$ . Esto concuerda bastante bien con lo que Wolfram Alpha me da (no sería difícil obtener más dígitos aquí, pero ahora mismo me estoy sintiendo un poco desorientado y voy a dejarlo por hoy :-)

Answer 2

No estoy seguro de estar de acuerdo con buzzard en que alguna teoría de campo de clase secreta está pasando. (Creo que este fenómeno es puramente una característica del hecho de que los coeficientes de j no crecen tan rápidamente (es decir, son subexponenciales). Por ejemplo, para R^3, se puede escribir:

$$j^3 - 2232 \cdot j^2 + 1056786 \cdot j - 27068496 = \frac{1}{q^3} - \frac{13170}{q} - 62370 \cdot q + \ldots$$

Los términos O(q) son minúsculos, y esta expresión muestra que lo que se está llamando R^3 más arriba está muy cerca de un número entero. Y uno puede escribir al azar la expresión:

$$j^4 - 2976 \cdot j^3 + 2533439 \cdot j^2 - 561444705 \cdot j + 8735797224$$ $$ = \frac{1}{q^4} - \frac{241}{q^2} - \frac{358705}{q} + 157484 \cdot q + \ldots$$

Para lo cual también se ve que R^4 se aproxima a un número entero (el término de error que se obtiene de esta expresión no es tan exacto como el primero, pero sigue siendo bueno). Diré crípticamente que a medida que n se hace más grande el truco para escribir la expresión que da la "mejor" es realizar un algoritmo LLL, que se hace más difícil de hacer mirando la salida de mathematica a medida que n se hace más grande. De hecho, estoy seguro de que alguien que realmente sepa cómo implementar LLL podría hacerlo mucho mejor para n = 4. Claramente no hay nada modular aquí.

Para los que necesiten más convencimiento de que esto no tiene nada que ver con nada misterioso, supongamos que

$$j = \frac{1}{q} + 1066 + 144169 \cdot q + 16174955132 \cdot q^2 + \sum_{n=3}^{\infty} c(n) q^n $$

Aquí c(n) denota los coeficientes habituales de j, 1066 fue la fecha de la batalla de Hastings, 144169 es tanto una concatenación de dos cuadrados como un primo que tiene algo que ver con formas modulares de peso 24 y nivel 1, y 16174955132 es el número de fax del departamento de matemáticas de Harvard. Sea R = q^-1 la solución de la ecuación j = -(640320)^3 que es aproximadamente 10^18. Entonces R, R^2, R^3, R^4, R^5, R^6 están dentro de (aproximadamente) 10^(-12), 10^(-7), 10^(-8), 10^(-6), 10^(-5), 10^(-4) de números enteros. Nótese que esto es más o menos lo mismo que ocurría en el caso clásico.

Ahora hay son algunos hechos interesantes relacionados con aproximaciones de números enteros por números de esta forma, sólo que éste no es uno de ellos. (Divertido e interesante ejercicio que requiere algo "ligeramente más profundo en la teoría" como diría Buzzard: explicar por qué $exp(\pi \sqrt{58})$ se aproxima a un número entero).

Answer 3

Aquí hay un cálculo obvio que nadie parece estar haciendo. Invertir la serie de potencias para $j$ para escribir

$$q^{-1} = j + a(0) + a(1) j^{-1} + a(2) j^{-2} + \cdots.$$

(Obsérvese que el $a(i)$ serán números enteros).

Sube esto a la, por ejemplo, $5$ poder para conseguir

$$q^{-5} = j^5 + b(-4) j^4 + \cdots + b(0) + b(1) j^{-1} + \cdots.$$

Ver si los coeficientes $b$ están cayendo lo suficientemente rápido como para dar una explicación sencilla. La gente está asumiendo que el hecho de que los coeficientes de $j$ en términos de $q$ crecen rápidamente significa que los coeficientes de la inversa también crecerán rápidamente, pero eso no me parece justificado.

ACTUALIZACIÓN: Bien, aquí hay algunos datos.

$$q^{-1} = j - 744 - 196884/j + \cdots = \mathbb{Z} - 7.5 \times 10^{-13} + \cdots $$ $$q^{-2} = j^2 - 1488 j + 159768 - 42987520 / j + \cdots = \mathbb{Z} - 1.6 \times 10^{-10}$$

A partir de aquí, se hace demasiado largo escribir los detalles, así que sólo daré el primer término no entero:

$$q^{-3} = \mathbb{Z} -9.88 \times 10^{-9} + \cdots $$ $$q^{-4} = \mathbb{Z} -3.08 \times 10^{-7} + \cdots $$ $$q^{-5} = \mathbb{Z}-6.35 \times 10^{-6} + \cdots $$ $$q^{-6} = \mathbb{Z}-9.72 \times 10^{-5} + \cdots $$ $$q^{-7} = \mathbb{Z}-1.19 \times 10^{-3} + \cdots $$ $$q^{-8} = \mathbb{Z}-1.22 \times 10^{-2} + \cdots $$ $$q^{-9} = \mathbb{Z}-0.109 + \cdots $$ $$q^{-10} = \mathbb{Z}-0.860 + \cdots $$

A juzgar por los datos de Michael que figuran más arriba, los términos más tardíos también realizan aportaciones sustanciales, pero creo que esto explica gran parte del misterio.

Y, por si le sirve a alguien, aquí están los 14 primeros coeficientes de $q^{-1}$ como serie de potencias en $j^{-1}$ .

{1, -744, -196884, -167975456, -180592706130, -217940004309744, -282054965806724344, -382591095354251539392, -536797252082856840544683, -772598111838972001258770120, -1134346327935015067651297762308, -1692324738742597705005194275401888}

Observe que la serie comienza $q^{-1} = j - 744 -196884/j + \cdots$ .

Answer 4

Churchhouse, Muir's "Fracciones continuas, números algebraicos e invariantes modulares" es agradable de leer.

Answer 5

Hay un artículo en línea sobre este tema aquí:

http://www-math.mit.edu/~green/ramanujanconstant.pdf