Significado físico de matar el campo vectorial a lo largo de geodésica

Question

Mencionemos por$X^i=(1,\vec 0)$ el campo de vector Matriz y por$u^i(s)$ un campo vectorial tangente de una geodésica, donde$s$ es un parámetro afín.

¿Qué importancia física tiene la cantidad escalar$X_iu^i$ y su conservación? Si alguna ...? He visto esto en los libros de mayo y las preguntas del examen. Me pregunto qué significa ...

Answer 1

En general, si $\xi^\mu$ es Matar a un campo de vectores en un espacio-tiempo, y si $u^\mu$ es un campo tangente a lo largo de una geodésica en que el espacio-tiempo, a continuación, $\xi_\mu u^\mu$ es una cantidad conservada a lo largo de la línea geodésica. (Véase, por ejemplo, Wald del GR proposición C. 3.1).

Para ilustrar el significado físico de este, considere una partícula que se mueve en $2$-dimensional espacio de Minkowski con métrica

$$ds^2 = -dt^2 + dx^2.$$

Esta métrica se admite la matanza de los vectores $\xi_{(t)} = (1,0)$$\xi_{(x)} = (0,1)$. De ello se deduce que para una geodésica $(t(\lambda),x(\lambda))$ con tangente $u^\mu(\lambda)=(dt/d\lambda, dx/d\lambda)$, obtenemos dos cantidades conservadas $$ \xi_{(t)}^\mu u_\mu = -\frac{dt}{d\lambda}, \qquad \xi_{(x)}^\mu u_\mu = \frac{dx}{d\lambda} $$ Si nos imaginamos que nuestra geodésica representa la trayectoria de una partícula de masa $m$ a través del espacio-tiempo, entonces si se elige el parámetro de $\lambda$ a de longitud de arco, que para timelike curvas se llama en el tiempo apropiado,$\tau$, es decir, si elegimos $$ -1 = u^\mu u_\mu = \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 + \left(\frac{dx}{d\tau}\right)^2 $$ a continuación, $p^\mu = m u^\mu$ es la cuatro-momentum de la partícula, y la ecuación de conservación de la obtenida a partir de a $\xi_{(t)}$ da de conservación de $p^t = m u^t$, que es la energía de la partícula, y la ecuación de conservación de la obtenida a partir de a $\xi_{(x)}$ da de conservación de $p^x = m u^x$ que es el momento de la partícula.

Así, en este contexto, la Matanza de los vectores de la métrica determinada dio conservado cantidades que podría ser interpretado como la energía y el momentum de una partícula que se mueve libremente en el espacio-tiempo plano.