Teorema de la intersección del cantor - ejercicio

Question

¿Puede alguien dar un ejemplo de un espacio métrico completo y una secuencia de bolas cerradas anidadas, que tiene una intersección vacía. (Ejercicio de Kolmogorov, Fomin: Elementos de la Teoría de Funciones y Análisis Funcional)

¿Cuál es la respuesta a una pregunta similar, donde sólo el espacio métrico completo es cambiado por el espacio normado completo?

Answer 1

Vamos a pasar por alto la pelota condición en primer lugar, y buscar un espacio métrico completo y una secuencia anidada de vacío conjuntos cerrados con intersección vacía. Esto es claramente imposible para un ser finito espacio métrico, así que vamos a intentar el más simple posible infinita de espacio métrico: una contables establecidas, que bien podría ser $\mathbb{N}$, con la métrica discreta $d(m,n)=1 \Leftrightarrow m \neq n$. Cada conjunto en este espacio es cerrado, por lo que es fácil encontrar la secuencia que desee: por ejemplo, podemos tomar $A_n$$\{ n, n+1, n+2, \ldots\}$.

Todo esto está muy bien, pero, por supuesto, estos conjuntos no están cerradas las pelotas todavía. Esto no significa que debemos renunciar a nuestro ejemplo, aunque. Más bien, tratamos de ajustar la métrica para hacer cada una de las $A_n$ en un cerrado pelota. También necesitamos que nuestros métrica para la estancia completa, y la forma más sencilla de hacer esto es mantener la condición de que todos los distinto de cero distancias se $\ge 1$.

Una bola está definida por dos cosas: un centro y un radio. La opción más sencilla para centro es tener $A_n$ centrada en $n$. Las radios deberán estar disminuyendo (debido a que queremos $n+1 \in A_n$ pero no $n \in A_{n+1}$) así como al menos $1$, así que vamos a intentar hacer el radio de $A_n$$1+\frac1n$.

Así, por $m<n$, queremos $d(m,n)\le 1+\frac1m$ (de modo que $n$$A_m$) sino $d(m,n)>1+\frac1n$ (de modo que $m$ no $A_n$). La forma más sencilla de hacer esto es simplemente deje $d(m,n)=1+\frac1m$.

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Todo lo anterior es sólo una manera de motivar el siguiente ejemplo: supongamos $X$ ser el espacio de $\mathbb N$ con métrica $d(m,n)=1+\frac{1}{\min (m,n)}$$m \neq n$. No es difícil comprobar que efectivamente este es un espacio métrico completo, y la bola cerrada con centro de $n$ y radio de $1+\frac1n$$\{n, n+1, n+2, \ldots\}$.