Probar que$R$ es conmutativo

Question

Sea$R$ un anillo tal que$$ x^2-x \in C(R) \quad \forall x \in R,$ $ donde$C(R)$ es el centro de$R$. Demuestre que$R$ es conmutativo.

No puedo encontrar ninguna ruta para proceder. ¿Cómo puedo empezar? Por favor dé consejos en vez de solución completa.

Answer 1

Como punto de partida, considere$(x+y)^2-(x+y)=(x^2-x)+(y^2-y)+xy+yx$. Dado que el centro de un anillo está cerrado por adición, esto implica que$xy+yx\in C(R)$. Ahora bien, hay dos casos: o bien no hay elementos no nulos en el centro, o hay.