Probar que una secuencia de funciones convergen uniformemente

Question

Tengo una secuencia de funciones:
ps
Se sabe que:
ps
Por lo que$$S_n(x) = x\frac{1-x^n}{1-x}, \text{ where } x \in (-1, 1)$ converge punto a punto. Debo demostrar que no converge uniformemente. Traté de estimar:
$$\lim_{n \to \infty}S_n(x) = \frac{x}{1-x}$$S_n(x)$ x \ in (-1, 1) $ pero no funcionó.
Apreciaría cualquier ayuda.

Answer 1

La convergencia no es uniforme en $(-1,1)$, pero es uniforme sobre cerrado subconjuntos de los mismos. En primer lugar, examinar la convergencia en el cerrado subinterval $[-r,r]$$0<r<1$. Después de eso, nos muestran que la convergencia no es uniforme en $(-1,1)$

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Deje $\epsilon>0$ ser dado. Entonces, tenemos por $x\in [-r,r]$ $0<r<1$

$$\begin{align} \left|S_n(x)-\frac{x}{1-x}\right|&=\frac{|x|^{n+1}}{|1-x|}\\\\ &\le \frac{r^{n+1}}{1-r}\\\\ &<\epsilon \end{align}$$

siempre que $n>\frac{\log(1-r)+\log(\epsilon)}{\log(r)}-1$

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Tome $\epsilon=1/2$. Entonces, para todos los $N$ tomamos $x=(1/2)^{1/(n+1)}$ $0<r<1$ y cualquier $n>N$. Entonces, nos encontramos con que

$$\begin{align} \left|S_n(x)-\frac{x}{1-x}\right|&=\frac{|x|^{n+1}}{|1-x|}\\\\ &= \frac{1/2}{1-(1/2)^{1/n+1}}\\\\ &\ge 1/2\\\\ &=\epsilon \end{align}$$

que niega la convergencia uniforme en el intervalo abierto $(-1,1)$

Answer 2

Creo que usted está en el camino correcto, tenga en cuenta que:

$$ \left|S_n(x)- \frac{x}{1-x} \right|=\left| -\frac{x^{n+1}}{1-x} \right| \ge | x^{n+1} | > 0 $ $ Para cada$x \in (0,1) $ y cada$n \in \mathbb{N}$. Tomar los límites más bajos, básicamente, da la solución.

Answer 3

Así, usted tiene $$ \left\lvert S_n(x) - S(x)\right\rvert = \left\lvert \frac{1-x^n}{1-x} - \frac{1}{1-x}\right\rvert= \left\lvert \frac{x^n}{1-x}\right\rvert $$ para todos los $x\in(-1,1)$.

Ahora, considere la posibilidad de $x_n \stackrel{\rm def}{=} 1-\frac{1}{n}\in(-1,1)$. Tenemos $$ \sup_{x\en (-1,1)}\left\lvert S_n(x) - S(x)\right\rvert \geq \left\lvert S_n(x_n) - S(x_n)\right\rvert =\left\lvert \frac{x_n^n}{1-x_n}\right\rvert = \frac{(1-\frac{1}{n})^n}{\frac{1}{n}} = n \left(1-\frac{1}{n}\right)^n \xrightarrow[n\to\infty]{}\infty $$ por lo $\sup_{x\in (-1,1)}\left\lvert S_n(x) - S(x)\right\rvert\not\xrightarrow[n\to\infty]{}0$, significa que no hay convergencia uniforme en $(-1,1)$.

Answer 4

Nota: Si una secuencia de funciones está limitada por una secuencia$M_n$, y converge uniformemente a una función$f$, entonces$f$ está limitado.

Supongamos entonces que $$ S_n (x) = \ frac {x (1-x ^ n)} {1-x} \ stackrel {\ text {uniformemente}} {\ rightarrow} \ frac {x} {1} $$ Entonces, como$S_n(x)$ es una suma finita, está limitada para cualquier$n$ determinado.

Sin embargo, tenemos que$\frac{x}{1-x}$ no tiene límites en$(-1,1)$, lo que implica que la convergencia no puede ser uniforme.

Answer 5

Primero, simplificamos la expresión. Tenga en cuenta que: \begin{align} \left|\frac{x(1-x^n)}{1-x} - \frac{x}{1-x}\right| &= \left|\frac{x(1-x^n) -x}{1-x}\right| \\ &=\left|\frac{-x^{n+1}}{1-x}\right| \\ &= \frac{x}{1-x}\cdot x^{n} \end {align}

Queremos$\left|S_n(x) - \frac{x}{1-x} \right| < \epsilon$ para determinado$\epsilon$ y$n \ge N$ para algunos bastante grande$N$. Para que esto sea el caso, necesitaríamos un$N$ tal que, para todos$n\ge N$: \begin{align*} &\frac{x}{1-x}x^n < \epsilon \\ \iff & x^n < \epsilon\frac{1-x}{x} \\ \iff & n > \frac{\ln\left(\epsilon\frac{1-x}{x}\right)}{\ln x} = \frac{\ln \left(\epsilon(1-x)\right) - \ln x}{\ln x} \end {align *}

Pero, como$x\to 1$ desde la izquierda,$\frac{\ln \left(\epsilon(1-x)\right) - \ln x}{\ln x} \to \infty$. Por lo tanto, no existe tal$N$.

Por lo tanto,$S_n(x)$ no converge uniformemente.