Si la matriz es diagonalizable, ¿valor propio?

Question

Dejemos que $A$ ser un $n \times n$ y supongamos que $A$ es diagonalizable y el único valor propio es $\lambda = k$ ¿Qué se puede decir de la matriz? $D$ donde $A = P^{-1} D P$ para una matriz invertible $P$ .

Así que si el único valor propio de $A$ es $\lambda = k$ ¿Qué puedo decir sobre $D$ ?

Sé que $D$ es una matriz diagonal, pero ¿es necesariamente cierto que $D = \text{diag } (k, k, ... , k)$ ?

Answer 1

Sí, lo es. Una forma de ver esto es que los valores propios son invariantes bajo la conjugación. Esto es una forma elegante de decir que si $$ A=PDP^{-1} $$ entonces $A$ y $D$ tienen los mismos valores propios.

Ahora, ¿cuáles son los valores propios de una matriz diagonal (o triangular superior)?

Edición: Prueba del hecho mencionado en los comentarios: suponga $$ \lambda I=PAP^{-1} $$ para algún cambio de matriz base $P$ . Entonces $$ A=P^{-1}\lambda IP=\lambda P^{-1}P=\lambda I $$

Answer 2

La primera pregunta es: ¿Qué puede decir sobre $A$ ?

Sabes que es diagonalizable, así que escríbelo en forma diagonal. Conoces el único valor propio posible, así que conoces las entradas de la diagonal. ¿Qué aspecto tiene?

Observe que $A$ no se supone que sea diagonal, sólo diagonalizable. ¿Qué pasa con ella después de cambiar la base?

Una vez que haya encontrado $A$ , puede encontrar $D$ fácilmente.

Answer 3

Un $n\times n$ matriz diagonal $D$ tiene $n$ vectores propios ortogonales por pares (es decir, la base canónica), ya que $De_j=D_{jj}e_j$ . En el caso de la pregunta, tenemos $$ APe_j=PDe_j=D_{jj}\,Pe_j $$ por lo que para cada $j$ , $D_{jj}$ es un valor propio de $A$ con el vector propio $Pe_j$ . Si el único vector propio de $A$ es $k$ entonces $D_{jj}=k$ para todos $j$ es decir, $D=kI$ . Ahora $$ A=PDP^{-1}=kPP^{-1}=kI. $$