La intuición para el Grupo Cohomology

Question

Estoy empezando a aprender cohomology para cíclico grupos en preparación para su uso en las pruebas de los mundiales de campo de la clase de teoría (utilizando ideal de la teoría de argumentos). He visto la prueba de la larga secuencia exacta y de las propiedades básicas de la Herbrand cociente, y he empezado a mirar a través de cómo estos son utilizados en las pruebas de campo de la clase de teoría.

Hasta ahora, todo lo que puedo decir es que la cohomology grupos están dadas por algunos ad hoc de modding proceso, entonces podemos derivar algunas propiedades aleatorias (como el largo de la secuencia exacta) y, a continuación, hacemos cosas como $H^2(\mathrm{Gal}(L/K),I_{L})$ donde $I_L$ denota el grupo de fracciones ideales de un campo de número de $L$, y sólo pasa a ser algo interesante para el estudio de campo de la clase de teoría, tales como $I_K/\mathrm{N}(I_L)$ donde $L/K$ es cíclico y $\mathrm{N}$ denota el ideal de la norma. Entonces nos encontramos con que el cohomology los grupos son útiles para simplificar los cálculos con los diversos órdenes de los índices de los grupos.

Lo que no entiendo es lo de la intuición que está detrás de las definiciones de estos cohomology grupos. Yo no sé lo que cohomology está en una configuración geométrica (lo sé ejemplos donde tomar el kernel modulo de la imagen es muy interesante), pero no sé por qué tomamos estos núcleos modulo estas imágenes. ¿Qué es la intuición de por qué se definen de la forma en que están? ¿Por qué deberíamos esperar que estos cohomology grupos definidos tienen buenas propiedades y nos ayudan con la teoría algebraica de números? Ahora mismo, acabo de ver teorema después de teorema, veo la manipulación algebraica y diagrama de perseguir a que lo demuestre, pero no puedo ver la imagen más grande.

Por el contexto, si $A$ $G$- módulo donde $G$ es cíclico y $\sigma$ es un generador de $G$, luego definimos el endomorphisms $D=1+\sigma+\sigma^2+\cdots+\sigma^{|G|-1}$$N=1-\sigma$$A$, y, a continuación,$H^0(G,A)=\mathrm{ker}(N)/\mathrm{im}(D)$$H^1(G,A)=\mathrm{ker}(D)/\mathrm{im}(N)$. Tenga en cuenta que esta es una ligera modificación del grupo de cohomology, es decir, Tate cohomology, que la cohomology teoría utiliza principalmente para el Campo de Clase de Teoría. Grupo cohomology es la misma, pero con $H^0(G,A) = \mathrm{ker}(N)$. La ventaja de Tate cohomology es que es $2$-periódico para $G$ cíclico.

Answer 1

Aquí es completamente un ejemplo elemental que muestra que el grupo de cohomology no está vacía verborrea, pero puede resolver un problema ("parametrización de racional círculo"), cuya declaración no tiene nada que ver con cohomology.

Supongamos que de alguna manera sabe que, para una finita de Galois de la extensión de $k\subset K$ grupo $G$ el primer cohomology grupo $H^1(G,K^*)$ cero : este es el homológica versión del Teorema de Hilbert 90 ( puedes mirarlo en Weibel, el libro de álgebra homológica, páginas ph 175-176).

Si por otra parte $G $ es cíclico con generador de $s$, esto implica que un elemento de $K$ tiene una norma si y sólo si puede ser escrito $\frac{a}{s(a)}$ algunos $a\in K$.

Considere ahora el cuadrática extensión de $k=\mathbb Q \subset K=\mathbb Q(i)$ con generador de $s$ $Gal(\mathbb Q (i)/\mathbb Q)$ el complejo de la conjugación.La declaración anterior, dice que el $x+iy\in \mathbb Q(i)$ satisface $x^2+y^2=1$ fib $x+iy=\frac{u+iv}{s(u+iv)}=\frac{u+iv}{u-iv}=\frac{u^2-v^2}{u^2+v^2}+i\frac{2uv}{u^2+v^2}$ algunos $u+iv\in \mathbb Q (i)$ .

Así que la hemos obtenido a partir del grupo de cohomology el conocido parametrización de los puntos racionales de la unidad de círculo $x^2+y^2=1$ $$x=\frac{u^2-v^2}{u^2+v^2}, \quad y=\frac{2uv}{u^2+v^2}$$.

Answer 2

Me siento como mi respuesta a cada pregunta de este tipo es "el tratamiento en Silverman, el libro de curvas elípticas es muy bonito", pero el tratamiento en Silverman, el libro de curvas elípticas es muy bonito!

En particular, para H^1 por lo menos siempre me parece muy bueno para pensar en términos de giros. Bastante general: si X es una variedad sobre un campo K y L/K es una extensión de Galois, decimos que X'/K es un L-twist de X, si existe un isomorfismo entre X y X' sobre L. (Si acabamos de decir X' es un L-giro para algunos L, nos acaba de llamar un giro de X.)

De todos modos, es un buen ejercicio para comprobar que la L-giros de X rendimiento clases en H^1(Gal(L/K),Aut(X/L)). (Y en circunstancias favorables, la L-giros son en realidad en bijection con el Galois cohomology set). Esta es la base de toda la historia de los principales espacios homogéneos, o torsors, lo que hace que la mayor parte del último capítulo de Silverman.

Answer 3

La adscripción de algunas de las observaciones ya hechas: a pesar de que el (aburrido) la tradición de la norma los programas de matemáticas para ignorar estas cosas, es muy útil para entender que el grupo (co)homología consiste en la "derivada de functors" de los functors que tomar G-[co]fija de vectores en las representaciones de los espacios. (Por desgracia, los dos "co"'s llegar invertidos). Por lo tanto, no es una característica intrínseca de la definición. Estos mayores derivados de functors son el universal/derecho de las cosas "correctas" para la no exactitud de la (co)fijo-vector functors. Cierto, esta definición no explica por qué nos importaría tanto, pero, al final, es una gran parte de lo que la (co) homología es, creo.

También es muy útil para saber, demostrar que cualquier pro/en-jective resolución puede utilizarse para calcular la (co)homología.

Por lo tanto, las elecciones particulares (homogéneo/no homogénea de la barra de resolución(es), etc.) no son la definición, a pesar de las afirmaciones comunes que esto es así.

El punto de inteligente/perspicaz elección de las resoluciones es la facilitación de los cálculos sobre situaciones específicas.

C. Weibel, el libro de álgebra homológica hace un buen ejemplo de cálculos en grupo (co) homología, en el contexto de que es un ejemplo.

Answer 4

En primer lugar, permítanme decir que más allá de saber que el grupo de cohomology proviene de derivados de functors y todas las propiedades que vienen con él, yo no tengo mucha intuición para el grupo general cohomology. Sin embargo, en la teoría de los números hay un número de lugares en los que usted puede darse cuenta de la cohomology grupos como parametrización un algunos otros objetos que están interesados en. Para entender estos otros objetos (que podría llevar muy real intuición acerca de) a continuación, basta con utilizar la maquinaria de grupo cohomology. A continuación un par de ejemplos. Me olvide poner continua de los subíndices en todo, así que ten cuidado. Los errores son míos.

En primer lugar, en el ámbito de la (edición local) clase de teoría del campo tenemos el grupo de Brauer $Br(K)$ que es el grupo abelian (bajo el tensor de la operación) de las centrales de simple álgebras de más de $K$ hasta la equivalencia $A \sim M_n(A)$. Resulta que hay un isomorfismo natural entre el$Br(K)$$H^2(G_K, \overline{K}^{\times})$. Este isomorfismo proporciona dos mundos en los que realizar importantes cálculos. Por ejemplo, la afirmación de que cada central simple álgebra $K$ se divide a través de una unramified extensión de $K$ puede ser demostrado de forma explícita utilizando el grupo de Brauer o puede ser probada por la comprobación de que $H^2(G(K^{nr}/K),\overline{K}^\times) = H^2(G_K,\overline{K}^\times)$. Desde la prueba de que usted es capaz de obtener una prueba de la otra. Tal vez, también en el ámbito de la clase de teoría de campo, el local Artin mapa surge como un mapa en la Tate grupos dado por cierta la copa del producto, pero que podría tomar un poco más de tiempo para explicar. Usted debe mirar Milne notas sobre el CFT para todos los de este (Ch III y Ch IV, por lo que me han dicho).

Aquí es otro. Supongamos que $B$ es topológico, anillo y $G$ es un grupo topológico y $G$ actúa continuamente en $B$. Entonces, consideramos finito libre $B$-módulos de $X$ equipada con un semi-lineal de la acción, es decir, $g(bx) = g(b)g(x)$ todos los $b \in B$$x \in X$. Resulta que todos estos objetos son parametrizadas por $H^1(G,GL_d(B))$. (Advertencia: esto no es abelian cohomology, así que esto es sólo la punta de su conjunto. El punto que corresponde a la trivial semi-representación lineal $B^d$ con la diagonal de la acción.) Esto viene muy temprano en la parte de $p$-ádico representaciones de Galois donde uno estudia el período de anillos de $B_{dR}, B_{HT}$, etc.

Por último, considere la situación en la que uno tiene una representación $\overline{\rho}:G_{\mathbb Q,S} \rightarrow GL_n(\mathbb F_p)$, y quiere saber si se ha litings $\rho: G_{\mathbb Q,S} \rightarrow GL_n(R)$ donde $R$ es algunas completo DVR con residuo de campo $\mathbb F_p$. Si ya tenemos un lifting a $GL_n(R')$ $R$ $R'$ son suficientemente bueno (hay un surjection $R \rightarrow R'$ cuyo kernel $I$ es asesinado por el máximo ideal en $R$), a continuación, la obstrucción a la elevación más se encuentra en la cohomology grupo $H^2(G_{\mathbb Q,S},I\otimes Ad(\overline{\rho}))$ donde $Ad(\overline{\rho})$ es el vectorspace $M_n(\mathbb F_p)$ junto con el conjugado de acción por $\overline{\rho}$. Este (me he especializado un par de cosas) está escrita en Mazur papel de "Deformación Representaciones de Galois".

Para terminar, me limitaré a decir lo que mi asesor me dijo cuando le hice una pregunta similar que usted está pidiendo: "Sólo espera y verás cómo es mucho más claro su pensamiento puede convertirse con el grupo cohomology."

Answer 5

No estoy seguro de si esto es lo que estás buscando, pero yo siempre pienso en grupo (co)homología en términos de la homología de la clasificación de espacio para su grupo. Asumiendo $G$ es discreto, entonces no es un espacio topológico $BG$ con la propiedad de que $\pi_1 BG=G$ y la mayor homotopy grupos de desaparecer. Por construcción, $BG$ tiene un contráctiles de la cubierta $EG$, de modo que $EG/G=BG$.

$H_n(BG)$ es la misma que la definida algebraicamente $H_n(G)$, ya que si tomamos el celular complejo de cadena de $EG$ nos encontramos con una resolución de los números enteros por $G$-módulos debido a la acción de $G$ $EG$ pasa a la cadena de los grupos. Luego tensoring por la integral anillo de grupo de $G$ sólo divide la $G$ acción y obtenemos el celular complejo de cadena de $BG$.