Es $0$ ¿un número imaginario?

Question

Mi pregunta se debe a una edición al artículo de Wikipedia: Número imaginario .

Lo curioso es que no he podido encontrar (en tres de mis viejos libros de texto) una definición clara de "número imaginario". (Aunque eran bastante buenos en la definición de "componente imaginaria", etc.)

Entiendo que el número cero se encuentra tanto en el eje real como en el imaginario.
Pero es $\it 0$ ¿un número real y un número imaginario?

Sabemos ciertamente, que hay números complejos que no son ni puramente reales, ni puramente imaginarios. Pero siempre he considerado previamente, que un número puramente imaginario tenía que tener un cuadrado que es un número real y negativo (no sólo no positivo).

Claramente podemos (re)definir un número real como un número complejo con una componente imaginaria que es cero (lo que significa que $0$ es un número real), pero si uno definiera un número imaginario como un número complejo con componente real cero, entonces eso también incluiría $0$ entre los imaginarios puros.

¿Cuál es la definición completa y formal de un "número imaginario" (fuera de la referencia de Wikipedia o de cualquier cosa derivada de ella)?

Answer 1

El artículo de Wikipedia cita un libro de texto que consigue confundir aún más la cuestión:

Número puramente imaginario (complejo) : Un número complejo $z = x + iy$ se llama número puramente imaginario si $x=0$ es decir $R(z) = 0$ .

Número imaginario : Un número complejo $z = x + iy$ se dice que es un número imaginario si y sólo si $y \ne 0$ es decir , $I(z) \ne 0$ .

Este es un uso ligeramente diferente de la palabra "imaginario", que significa "no real": entre los números complejos, los que no son reales los llamamos imaginarios, y otro subconjunto de ellos (con parte real $0$ ) son puramente imaginario. Excepto que por esta definición, $0$ es evidentemente puramente imaginario, pero no ¡imaginario!

De todos modos, cualquiera puede escribir un libro de texto, así que creo que la verdadera prueba es esta: ¿ $0$ ¿tiene las propiedades que queremos que tenga un número (puramente) imaginario?

No puedo (y El MSE no puede ) pensar en alguna propiedad útil de los números complejos puramente imaginarios $z$ aparte de la caracterización que $|e^{z}| = 1$ . Pero $0$ tiene claramente esta propiedad, por lo que debemos considerarla puramente imaginaria.

(Por otro lado, $0$ tiene todas las propiedades que debe tener un número real, siendo real; por lo que tiene cierto sentido decir también que es puramente imaginario pero no imaginario al mismo tiempo).

Answer 2

No creo que haya una

definición completa y formal de "número imaginario"

Es un término útil a veces. Es responsabilidad del autor dejar claro lo que quiere decir en cualquier contexto particular en el que la precisión sea importante. Si $0$ debe contar, o no, entonces el texto debe decirlo.

Tu pregunta muestra claramente que entiendes la estructura de los números complejos, por lo que deberías ser capaz de dar sentido a cualquier pasaje que encuentres.

Answer 3

Un número complejo z=a+ib donde a y b son números reales se llama : 1- puramente real, si b=0 ; e.g.- 56,78 ; 2- puramente imaginario, si a=0 ,e.g.- 2i, (5/2)i ; 3- imaginario, si b≠ 0 ,e.g.- 2+3i,1-i,5i ; 0 es puramente imaginario y puramente real pero no imaginario.