¿Qué es la hamiltoniana de la Relatividad General?

Question

Sabemos que reparametrization invariancia de una acción conduce a un Hamilton que es idéntica a cero. Compruebe Edmund Bertschinger: la Simetría de las Transformaciones de la Acción de Einstein-Hilbert, y el Indicador de la Invariancia de una prueba. Ahora tenga en cuenta que la acción de la Relatividad General es reparametrization-invariante. Por lo tanto, el Hamiltoniano debe ser cero.

También sabemos que de acuerdo a la ADM, el Formalismo, el Hamiltoniano de la Relatividad General es una expresión, posiblemente no sea cero.

Esto parece una paradoja aparente. Alguien me dijo que esto tiene que ver con el hecho de que en el Formalismo ADM, una foliación de espacio-tiempo es el elegido. Por lo tanto, los dos Hamiltonianos no representan la misma entidad. Yo no soy capaz de comprender esta línea de razonamiento.

Por favor aclarar.

Answer 1

Uno debe ser cuidadoso para distinguir el Hamiltoniano asociado con el movimiento de las partículas en un campo gravitacional y el Hamiltoniano asociado con el campo gravitatorio de sí mismo. El teorema en la página tres del artículo que enlaza (este es el teorema que te referías?) refiere a la acción de una partícula libre, no la acción de Einstein-Hilbert.

Sin embargo, no es un sentido en que el Hamiltoniano asociado a la acción de Einstein-Hilbert es cero, y esto es problemático cuando se trata de la definición de la energía de un espacio-tiempo. La resolución se encuentra en la superficie de los términos que surgen cuando el Hamiltoniano es variada. El Hamiltoniano de la GR como los obtenidos por la costumbre de Legendre transformar procedimiento es

$$ H = \int \mathrm{d}^3 x \, (\pi^{ij} \dot{h}_{ij} - \mathcal{L}) = \int \mathrm{d}^3 x \, (\mathcal{H} N+ N^i\mathcal{H}_i ) \,,$$

donde $N$ es la función de lapso, $N^i$ es el cambio del vector, y $$ \mathcal{H} = -R^{(3)} + h^{-1} \pi^{ij} \pi_{ij} - \frac{1}{2}h^{-1} (h^{ij} \pi_{ij})^2 \qquad \mathcal{H}_i = -2h_{ik} D_j(h^{-1/2} \pi^{jk}) \,.$$

Se puede demostrar que cuando las ecuaciones de movimiento son satisfechos (en particular, cuando el Hamiltoniano y el impulso, las restricciones son satisfechas), el Hamiltoniano se desvanece. Esto es distinto el caso en el artículo vinculado, para que el Hamiltoniano es también cero off-shell.

Sin embargo, aún nos quedamos con el rompecabezas de cómo definir la energía de un espacio-tiempo, si el Hamiltoniano es siempre cero en la cáscara. Variando el Hamiltoniano con respecto a la $\pi^{ij}$ $h_{ij}$ debemos reproducir, por Hamilton ecuaciones, las ecuaciones de campo de Einstein. Sin embargo, en la realización de esta variación, nos encontramos con que hay superficie términos que generan a la hora de integrar por partes para mover derivados.$\delta \pi^{ij}$$\delta h_{ij}$. El verdadero Hamiltoniana por lo tanto debe contener otro término que se cancela la superficie de este término cuando variadas. Este es el ADM de la energía:

$$E_\mathrm{ADM} = \lim_{r \to \infty} \int_{S^2_r} \, \mathrm{d} A \, n_i(\partial_j h_{ij} - \partial_i h_{jj} ) \,.$$

El total de Hamilton, $H + E_\mathrm{ADM}$, da las mismas ecuaciones de movimiento como antes. En la cáscara, $H = 0$, y por lo tanto $E_\mathrm{ADM}$ tiene la interpretación de la energía del espacio-tiempo.

Answer 2

El Hamiltoniano de la Relatividad General en el formalismo ADM puede ser escrito como

$$ H(q_{ab}, \pi^{ab}; N, N_a) = \intop_{\Sigma} d^3 x \left( N(x) C(q_{ab}(x), \pi^{ab}(x)) + N^{a}(x) C_{a}(q_{ab}(x), \pi^{ab}(x)) \right), $$

donde:

• $q_{ab}(x)$ es el 3-métrica en la distribución espacial de la rebanada $\Sigma$,
• $\pi^{ab}$ es la canónica conjugado de a $q_{ab}$ (que es un densitized tensor de campo en $\Sigma$)
• $N(x)$ $N_{a}(x)$ son multiplicador de Lagrange campos llamados lapso y cambio respectivamente, que escriba la expresión para el espacio-tiempo métricas $g_{\mu \nu}(x, t=0)$ junto $q_{ab}$; siendo multiplicadores de Lagrange no tienen canónica conjugados por definición (o podemos decir que $P_N = P_{N_a} = 0$ es una primera clase de restricción).

Las limitaciones están dadas por:

$$ C_a (q_{ab}, \pi^{ab}) = - 2 D_{b} \pi^{ab}, $$ $$ C(q_{ab}, \pi^{ab}) = \frac{1}{\sqrt{\det q}} \left( \left( q_{ac} q_{bd} - \frac{1}{2} q_{ab} q_{cd} \right) \pi^{ab} \pi^{cd} - \det q \cdot R(q) \right). $$

Cuando decimos que $H = 0$ para la Relatividad General lo que queremos decir es que el $H = 0$ sigue a partir de las ecuaciones de movimiento, que son las ecuaciones de Einstein. Esto puede ser visto fácilmente, como variating la acción con respecto a las $N$ $N^a$ da

$$ C(x) = C_a (x) = 0. $$

Esta es una ecuación de movimiento. Se deduce de las ecuaciones de Einstein. Es un requisito que $N, N^a, q_{qb}, p^{ab}$ tienen que cumplir para calificar como una solución de las ecuaciones de Einstein.

Así que sí, el Hamiltoniano de GR es cero. Pero esto sólo es cierto en el shell. Off-shell corchetes de Poisson con el Hamiltoniano todavía determinar la evolución física de los observables:

$$ \frac{d}{dt} f(t, x) = \frac{\partial}{\partial t} f(t, x) + \left\{ f(t, x),\; H \right\}. $$

La cosa extraña acerca de esto, sin embargo, es que depende de la elección de $N(x)$$N^{a}(x)$, los cuales son no físico. Resulta que hay una buena razón para que esta dependencia: por la elección de diferentes $N$ $N_a$ que puede pasar entre diferentes sistemas de coordenadas espacio-tiempo!

Como un ejemplo de lo razonable con el indicador de la fijación de condiciones, considerar

$$ N_a(x) = 0; N(x) = 1. $$

Esto se corresponde con el espacio-tiempo del sistema de coordenadas, en el que $\Sigma$ es fijo en el tiempo, y la coordinación del tiempo $t$ es el elegido para describir la física en el tiempo de flujo. En este indicador el Hamiltoniano es igual a

$$ H = \intop_{\Sigma} d^3 x C(q_{ab}(x), \pi^{ab}(x)) = $$ $$ = \intop_{\Sigma} d^3 x \frac{1}{\sqrt{\det q}} \left( \left( q_{ac} q_{bd} - \frac{1}{2} q_{ab} q_{cd} \right) \pi^{ab} \pi^{cd} - \det q \cdot R(q) \right), $$

que no es invariante bajo transformaciones de coordenadas, como ya hemos corregido el medidor.

Todavía se desvanece en la cáscara (cuando las ecuaciones de movimiento son impuestos), pero ofrece el tiempo de evolución de la física observables cuando tomamos Poisson soportes off-shell:

$$ \frac{d}{dt} f(t, x) = \frac{\partial}{\partial t} f(t, x) + \left\{ f(t, x),\; H \right\}. $$

Una pregunta importante es si las restricciones generar 4-dimensional diffeomorphisms en el espacio de fase. Respuesta corta: este es válida sólo en la cáscara, es decir, en las ecuaciones de movimiento.

Answer 3

El Hamiltoniano en el reparametrization invariante teorías no es idéntica a cero. Es idéntica a cero en la cáscara es decir, el Hamiltoniano es una combinación lineal de las restricciones. ADM Hamiltoniano tiene exactamente este formulario, $$H=\int d^3x N\mathcal{H}+N_k\mathcal{H_k}$$ donde $\mathcal{H}$ $\mathcal{H_k}$ son restricciones. La física, las soluciones deben satisfacer las restricciones y por lo tanto para ellos la ADM Hamiltoniano debe ser igual a cero.

Sin embargo, el corchete de Poisson de una función de variables canónicas y limitaciones en general es distinto de cero. Así que si se considera por ejemplo, $\frac{d}{dt}g_{ij}=\{H,g_{ij}\}$ va a ser distinto de cero, y dependerá de la $N$$N_k$. Como cuestión de hecho, usted conseguirá de esta manera ordinaria ecuaciones de Einstein.