Encontrar un cuadrado perfecto de seis dígitos de forma particular – BMO 1993 P1

Question

1993 Británico Olimpiada Matemática De La Ronda 1, Pregunta 1

Encontrar, mostrando su método, una de seis dígitos enteros $n$ con las siguientes propiedades:

1. $n$ es un cuadrado perfecto,
2. el número formado por los tres últimos dígitos de $n$ es exactamente uno mayor que el número formado por los tres primeros dígitos de $n$. (Lo $n$ podría parecerse a $123124$, aunque este no es un cuadrado.)

Me dio una oportunidad, aunque la teoría de los números no ser un punto fuerte de la mina. $$\text{n = }\overline{ABCABD}\text{, where } D = C +1$$ $$n = 10^5\times A + 10^4\times B + 10^3\times C + 10^2\times A + 10^1\times B + 10^0\times D \\=A(10^5+10^2) + B(10^4+10) + C(10^3+10^0)+1\qquad\qquad\,$$ $$\\n-1 = (10^3+1)\times(10^2\times A+10^1\times B + 10^0 \times C)\\\frac{n-1}{1001} = \overline{ABC}$$ $\text{The question then becomes:}\\\text{Find } r\in\mathbb{Z^+}\,(r = \overline{ABC})\text{ such that } $ $$n = 1001r + 1\\10^5\le n\le 10^6-1,\,n\in\mathbb{Z^+}$$ Esto, sin embargo, parece haber llegado a mí en ninguna parte como no tengo idea de cómo resolver la ecuación lineal.

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NOTA AL MARGEN: Usando Python, me encontré con que $r\in\{{183,328,528,715}\}$. Por lo tanto, $n\in\{{183184,328329,528529,715716}\}$.

Sin embargo, me gustaría ver una solución matemática.

Answer 1

Sugerencia de La condición de $n = 1001 r + 1$ no expresa una de nuestras condiciones, a saber, que el $n$ es un cuadrado, digamos, $m^2$ para algún entero positivo $m$. En términos de $m$, nuestra condición es $m^2 = 1001 r + 1$, y la observación clave es que esta ecuación puede ser reorganizado y, a continuación, de factores: $$(m + 1) (m - 1) = 1001 r .$$ Ahora, ambos lados están factorizations de la misma entero. La factorización en primos de $1001$$1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$, por lo que uno o dos de estos tres números primos son los factores de $m + 1$ y el otro(s) son factores de $m - 1$. (Si los tres fueron los factores del mismo término, tendríamos $m \pm 1 = 1001$, y en ambos casos $m^2$ tiene siete dígitos).

Si tomamos el caso de que $7, 11$ son factores de $m + 1$ $13$ es un factor de $m - 1$, luego tenemos$$\left\{\begin{array}{rcl}m + 1 &=& 7 \cdot 11 s \\m - 1 &=& 13 t\end{array}\right.$$ for some integers $m, s, t$; $r$ is just $r = s t$. Eliminating $m$ gives $$77 s = 13 t + 2$$ for some $s, t$, and reducing modulo $13$ and solving gives $s \equiv 11 \pmod {13}$, so the smallest positive solution is $s = 11$; substituting gives that the the corresponding value is $t = 65$, so $r = st = 715$ (reproducing one of the given answers) and hence $n = 715716$. The next smallest positive solution is $s = 24$, but this corresponds to a four-digit $m$, and hence to an $m^2$ of at least seven digits, so $r = 715$ es la única solución de este caso. Proceder del mismo modo para los otros cinco casos debe rendir las otras tres soluciones.