Demostrar que $f$ debe tener un punto de inflexión en $0$

Question

Supongamos que $f$ es una función tal que $f'(x)>0$ $\forall x\not=0$ y $f'(0)=0$ . También, $f''$ es un continuo $\text{one to one}$ en algún intervalo abierto que contenga $0$ . Demostrar que $f$ debe tener un punto de inflexión en $0$ .

Pf:

Sean a,b valores arbitrarios en el intervalo abierto que contiene $0$ tal que $a<0<b$

Desde $f''$ es un continuo $1-1$ en [a,b], entonces $f'''>0$ $\forall x \in [a,b]$ o $f'''<0$ $\forall x \in [a,b]$ . Así que $f'' $ es continua en $[a,b]$ y $f''$ es diferenciable en $(a,b)$

Por el teorema del valor medio, existe $c$ con, $a<c<b$ tal que $$f''(c)=\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}$$

Suponiendo que incluso voy en la dirección correcta con esto, no sé cómo mostrar que $f''(0)=0$ y que $f''$ cambia de signo en $0$ . La mayoría de lo que estoy leyendo habla en relación a un $\delta$ barrio de $0$ donde pueda probar un cambio de signo.

Cualquier sugerencia u orientación útil es muy apreciada. Preferiblemente, más inclinado hacia consejos y no spoilers en toda regla en esta cuestión :)

EDITAR:

$f''$ no se sabe si es diferenciable, $f'$ se sabe que es diferenciable y le aplicamos el teorema del valor medio.

Answer 1

Desde $f''$ es continua e inyectiva es creciente o decreciente.

Consideremos una secuencia de puntos $x_k \searrow 0$ . Para cada $k$ existe $y_k \in (0,x_k)$ satisfaciendo $$f''(y_k) = \frac{f'(x_k) - f'(0)}{x_k - 0} = \frac{f'(x_k)}{x_k} > 0.$$

Desde $f''$ es continua se puede mostrar entonces $f''(0) \ge 0$ . Desde $f''$ alcanza valores positivos a lo largo de una secuencia decreciente hasta $0$ se deduce que $f''$ no puede ser decreciente, por lo que es creciente.

¿Puede proceder a partir de ahí?

Answer 2

Trabajemos en un intervalo $(-c,c)$ donde $f''$ es $1$ - $1$ y continua.

Si $d\in(0,c)$ , usted tiene $$ f''(y_+)=\frac{f'(d)-f(0)}{d-0}=\frac{f'(d)}{d}>0 $$ para algunos $y_+\in(0,d)$ . Del mismo modo, usted tiene $$ f''(y_-)=\frac{f'(-d)-f(0)}{-d-0}=\frac{f'(-d)}{-d}<0 $$ para algunos $y_-\in(-d,0)$ . Por continuidad de $f''$ , hay $\xi\in(y_-,y_+)\subset(-d,d)$ tal que $f''(\xi)=0$ . Por inyectividad, $\xi$ está determinada de forma única y pertenece a $(-d,d)$ para cada $0<d<c$ .

Por lo tanto, $\xi=0$ .

Ahora termina

observando que $f''(x)<0$ para $-c<x<0$ y $f''(x)>0$ para $0<x<c$ .

Answer 3

Primero demostremos que $f''(0) = 0$ . Evidentemente, si $f''(0) > 0$ entonces $f'$ es estrictamente creciente en $0$ y como $f'(0) = 0$ la derivada $f'(x)$ debe ser negativo para todos los valores negativos suficientemente pequeños de $x$ . Esto contradice que $f'(x) > 0$ para todos $x \neq 0$ . Del mismo modo, podemos demostrar que $f''(0)$ no puede ser negativo.

Aparte de esto debemos demostrar que existe algún intervalo $[-h, h]$ alrededor de $0$ tal que $f'$ es decreciente en $[-h, 0]$ y aumentando en $[0, h]$ . Se nos da que $f''$ es continua y unívoca en algún intervalo que contenga $0$ . Podemos tomar $h$ lo suficientemente pequeño como para que $f''$ es continua y unívoca en $[-h, h]$ . Entonces $f''$ es monótona (hay que intentar demostrar que las funciones continuas unidireccionales son estrictamente monótonas ). Dado que $f''(0) = 0$ se deduce que $f''(x) < 0$ para todos $x \in [-h, 0)$ y $f''(x) > 0$ para todos $x \in (0, h]$ . Esto significa que $f'$ es estrictamente decreciente en $[-h, 0]$ y estrictamente creciente en $[0, h]$ y por lo tanto $f$ tiene un punto de inflexión en $0$ .