¿Para que conjuntos de parámetros de este sistema de ecuaciones no tendrá ninguna solución?

Question

Si $S$ es el conjunto de valores distintos de '$b$' para que el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\begin{align} x + y + z = 1\\ x + ay + z = 1\\ ax + by + z = 0 \end{align} no tiene solución, a continuación, $S$ es:

1. un singleton
2. un conjunto vacío
3. un conjunto infinito
4. un conjunto finito que contiene dos o más elementos

No hay ninguna información dada sobre el valor de $a$. Estoy recibiendo dos casos:

• Para $a=1, b$ tiene un valor de $b=1$
• Para $a$ no es igual a $1 , b$ no tiene ningún valor.

Answer 1

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ a & b & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a-1 & 0 \\ 0 & b-a & 1-a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -a\end{bmatrix}$$

El determinante de la matriz es $-(a-1)^2$, al no tener solución, el determinante debe ser $0$, por lo tanto, $a=1$.

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & b-1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1\end{bmatrix}$$

Para no que ninguna solución $b$ tiene que ser $1$.

Por lo tanto, $S=\{1 \}$.

Observación:

Interpreto la pregunta como $S=\{b: \exists a \text{ such that the system has no solution.} \}$

Si interpretamos $S=\{b: \forall a \text{ such that the system has no solution.} \}$, entonces el $S = \emptyset$.

Answer 2

Supongamos $a=1$. A continuación, las dos primeras ecuaciones son las mismas.

La tercera ecuación es $x+by+z = 0$. Sabemos que $x+y+z=1$, por lo que restando, obtenemos $y(1-b) = 1$, por lo que si $b\neq 1$, tenemos una solución para $y$, y trivialmente para $x,z$. Por lo tanto, $b=1$ es el único valor que no da soluciones.

Supongamos $a \neq 1$. Luego, restando la segunda ecuación de la primera, $(a-1)y = 0$, por lo que el $y=0$.

Ahora, la tercera ecuación se cambia a $ax + z =0$, y sabemos $x+z = 1$. Estas ecuaciones se pueden resolver, con $x = \frac 1{1-a}$$z = 1-x$. Estas soluciones existen independientemente de que el valor de $b$, ya que no dependen de $b$.

Por lo tanto, las soluciones existen siempre $a \neq 1$.

Esto significa que $b$ es un singleton (y estás en lo correcto, buen trabajo!)

Answer 3

Cuando $a=1$ y $b=1$ las dos primeras ecuaciones son planos coincidentes ($x+y+z=1$) y el último ($x+y+z=0$) es un plano paralelo a ellos.

Por lo tanto $b=1$, estas ecuaciones no tienen soluciones. (Ya que planos paralelos intersectan nada.)

Por lo tanto, su conjunto de $S=\{1 \}$