Sabe que puede expresarse todos números primos más grandes que $3$ $3k + 1$ y o $3k + 2$. Aún los tapando no ver ninguna solución.
EDICIÓN: $p$ sólo puede ser un número primo.
Respuestas
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Evan Trimboli
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Así que usted sabe que todos los números primos mayores que 3 son de la forma $3k + 1$ o $3k + 2$.
¿Usted sabe que de esas formas de $2^p$ es? Obviamente $2 = 3 \times 0 + 2$. Entonces $4 = 3 \times 1 + 1$, $8 = 3 \times 2 + 2$, $16 = 3 \times 5 + 1$, $32 = 3 \times 10 + 2$, etc. En resumen, $2^n \equiv 2 \pmod 3$ si $n$ es impar, por lo que si $p$ es un número primo mayor que 2, es raro, y, en consecuencia,$2^p \equiv 2 \pmod 3$. Vamos a decir $2^p = 3m + 2$ para referencia posterior.
Ahora vamos a revisar lo que sucede con los cuadrados de los números primos. Supongamos $p = 3k + 2$. A continuación,$p^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 \equiv 1 \pmod 3$.
Y por lo $2^p + p^2 = (3m + 2) + (9k^2 + 12k + 4) = 9k^2 + 12k + 3m + 6$, y, sólo en caso de que no lo suficientemente evidente: $$\frac{9k^2 + 12k + 3m + 6}{3} = 3k^2 + 4k + m + 2.$$
lhf
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Mr. Brooks
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A partir de Fermat poco teorema, se deduce que el $2^p \equiv 2 \pmod p$. A continuación, $2^p + p^2 \equiv 2 \pmod p$ ... vaya, que no ayuda, no importa.
Oh, espera un minuto: desde $2 = 3 - 1$, $p^2 \equiv 1 \pmod 3$ por Fermat poco teorema. Eso significa que $p^2$ es de la forma $3k + 1$.
Así que mientras a $2^p \not \equiv 2 \pmod 3$, el número de $2^p + p^2$ tiene la oportunidad de ser el primer. Sin embargo, desde la $2^2 \equiv 1 \pmod 3$ pero $2^3 \equiv 2 \pmod 3$, se deduce que los poderes de la $2$ alternativo $2, 1 \pmod n$ según si $n$ es par o impar. Pero desde $p > 2$ es impar, se deduce que el $2^p \equiv 2 \pmod 3$. Por lo tanto, con $p > 3$ impar, $2^p + p^2$ debe ser un múltiplo de $3$.
Y el único primer múltiplos de $3$ $3$ sí y $-3$. Tan sólo con $p = 3$ que tenemos $2^3 + 3^2 = 17$.
Así como una divertida aparte: dado $p = -3$, $$2^p + p^2 = \frac{73}{8}.$$
