¿Cuál es una prueba o determinación formal?

Question

Cuando es una prueba o una definición formal?

He estado buscando una explicación de cuándo o de prueba o la definición formal.

A veces, los autores de la llamada, las pruebas o las definiciones informales, sin más explicación.

Tengo una idea de que una prueba formal se deriva directamente de los axiomas (con referencias a la ya probada declaraciones), o son los requisitos menos estrictos?

Cuando se trata de una definición formal? De mayo de palabras cuyo significado sólo en el contexto a ser utilizado en una definición formal, o debería de cada uso de una palabra se define explícitamente?

Answer 1

No es un muy clara de la línea de corte. También hay una complicación, porque los matemáticos a menudo el uso de ciertos estilos de lenguaje en una prueba formal, haciendo la prueba de sonido más formal-en-el-coloquial-inglés-sentido. Ellos hacen esto para señal "este es formal en el sentido de que la prueba". Lo contrario también es cierto.

He aquí un informal definición intensional:

Una prueba formal es, básicamente, una donde no hay nada oculto.

(La definición de "nada", es flexible, dependiendo del nivel de la prueba. Una prueba formal dirigida a la mundo-clase matemáticos pueden perder detalles más que en el primer año de pregrado de la prueba formal, lo cual no está permitido perder muchos detalles.)

Uno puede utilizar palabras cuyo significado sigue sólo de contexto, mientras que es claro lo que el significado es; que no esconde nada. Una prueba puede omitir los detalles y todavía ser formales, siempre y cuando se le dice a usted cómo completar los detalles: que se esconde cosas, pero lo que es claro que la materia es una) ocultos, y b) que sea fácil de recuperar.

He aquí un informal definición extensional.

Una prueba que deja trozos grandes para que el lector es informal: se esconde grandes cantidades de detalle. Una definición que se pierde algunos molestos casos especiales (tal vez para hacer la declaración más slick) es informal. Una prueba de que pedantically va por encima de cada instrucción formal. Una prueba en la que cada instrucción sigue claramente de las anteriores declaraciones o de axiomas/hipótesis es formal.

Answer 2

El problema aquí es que la respuesta depende de si "formal" es formal o informalmente definido:)

Si se define formalmente probablemente sería definido como un término matemático y el requisito de las pruebas y la definición sería bastante estrictas. Seguramente deben ser formulados en un lenguaje formal adherir a ciertas reglas. Normalmente uno no ve este tipo de definiciones y pruebas.

De lo contrario, el término "formal" tendría que haber un ambiente más relajado significado y no requieren de una definición formal o prueba de adherirse a algunas muy estrictamente los estándares definidos. En este caso uno podría decir que los medios oficiales más estricta formulación de informal (que es el más descuidado de la formulación) - donde se dibuja la línea es dependiendo del contexto.

También que uno es utilizado también puede ser visto en su contexto. Si usted no ve ningún lenguaje formal (nota, sin embargo, que un lenguaje formal puede parecer natural) o la definición formal de "formal", más probablemente sería utilizado en la segunda acepción.

Answer 3

Personalmente, cuando yo pienso en una definición formal creo que de un concepto explicado con lenguaje matemático en lugar de lenguaje natural.

Por ejemplo, a la hora de definir el límite de una función $f$ a un punto de $a$ podemos definir con ambas de estas formas:

Definición 1: llamamos a $l$ el límite de una función $f: R \rightarrow R$ si $$(\forall \epsilon \in R^+)( \exists \delta \in R^+)( 0<|x-a|<\delta \implies |f(x) - l| < \epsilon)$$

Definición 2: llamamos a $l$ el límite de una función $f$ $a$ si es que el número que la función tiende a cerca de $f(a)$ (si existe).

Definición 1 es una definición formal, con el lenguaje matemático y citando todas las condiciones necesarias con el fin de definir el concepto. Definición 2 permite al usuario imaginar intuitivamente el concepto, pero no dejes que el trabajo del usuario con el concepto porque él no tiene el concepto de la matemática con el fin de lidiar con las pruebas.

Tenga en cuenta que en ambas definiciones podemos definir el mismo concepto, pero la primera nos permite trabajar con la definición de evitar la ambigüedad -, sin embargo, es muy fácil entender el concepto en la segunda definición.

Answer 4

Si usted hace una declaración en matemáticas, la pregunta es, se puede poner la instrucción exactamente en el marco matemático, es decir, se puede transmitir sus pensamientos, matemáticamente, a fin de no perder ningún detalle. Como un ejemplo, digamos que tomamos el límite de la definición. Tengo que hacer una declaración como la siguiente. "El valor real de una función con valores de $f$ se acerca más y más a $L$ $x$ se acerca más y más a $a$." Ahora, podemos escribir esta "formalmente" en matemática languaage ? Por supuesto que podemos. $\forall \: \epsilon>0, \exists\:\delta>0 \ni 0<|x-a|<\delta\implies|f(x)-L|<\epsilon$. Más precisamente,$\lim_{x\to a} f(x)=L$. Así que hemos traducido una declaración informal en una precisa definición matemática.

En el caso de las pruebas, así como la situación es similar. La idea es capturar matemáticamente todos los posibles detalles que son necesarios para probar el resultado.

Answer 5

Una prueba formal es uno donde no adjuntar una interpretación a lo que se escribe, y todos los pasos son "mecánicamente" justificados por la explícita pre-establecido reglas, axiomas o de otros teoremas.

Por ejemplo, cuando la escritura

$$a\ne0,ax^2+bx+c=0\\\ffi\\ x^2+\frac bax+\frac ca=0\\\ffi\\ x^2+2\frac b{2a}x+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac ca\\\ffi\\ \left(x+\frac ba\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac ca,$$

el primer paso es justificado por la regla de la división de igualdad y por la distributividad/asociatividad, la segunda por la adición de un término a una igualdad y la tercera por una notable identidad.

En ningún momento tienes que pensar que los símbolos representan los números y los operadores de cálculos aritméticos. Aplicar las reglas disponibles y transformar las expresiones. Así que usted está buscando más a los patrones que en el contenido. El objetivo es reducir el error humano.

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Esto no significa que la prueba debe ser escrito en una forma simbólica, más que como una explicación narrativa. Lo que importa es que todos los pasos están claramente justificados por una previamente establecidos, la verdad. En la práctica, algunos obvios justificaciones pueden ser omitidas, siempre que la destinada a los lectores pueden recuperar.