Definir una función
$$[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}$$
$$x \mapsto x^\perp$$
de la siguiente manera:
$$x^\perp = \sqrt{1-x^2}.$$
Me parece que esta función sea útil pedagógicamente, para ayudar a los estudiantes a comprender ciertos hechos acerca de las funciones circulares y las relaciones entre círculos y triángulos rectángulos.
Pregunta. Qué $x^\perp$ tiene un nombre aceptado y/o notación?
Yo podría decirles a ustedes cómo lo uso.
Empiezo dibujando un ángulo recto triángulo rectángulo con hipotenusa $1$. De un lado está etiquetada $x$. Pido que el estudiante escriba encontrar la longitud del otro lado, y para empezar por el etiquetado de el otro lado de la $y$. Así que solucionar $x^2+y^2=1^2$$y$, y obtener un $y = \sqrt{1-x^2}$. Yo les digo: vamos a llamar a $\sqrt{1-x^2}$ "de Pitágoras complemento" de $x$, y denota $x^\perp$. Volver a calcular un par de ejemplos hasta que se haya interiorizado el significado de la fórmula. Luego nos gráfico de toda cosa que una termina pareciéndose a la mitad de un círculo. Hmmm, ¿por qué? Volver a calcular la longitud del vector $(x,x^\perp),$, y efectivamente lo es $1$. Que tenga sentido; se obtuvo $x^\perp$ mediante la resolución de la ecuación de $|(x,y)| = 1$ sujeto a la restricción $y \geq 0$, y luego definiendo $y= x^\perp$. Así que es lógico que $(x,x^\perp)$ es siempre un punto en la mitad superior del círculo unitario.
Luego nos trasladamos a la trigonometría. He completado la mitad de un círculo, un círculo unitario, y dibuje una línea vertical en $x=\frac{1}{2}$. ¿Cuáles son las $y$-valores de los puntos de intersección? El estudiante puzzles que estos se $\pm x^\perp$. Volver a escribir esos dos puntos como $(x,x^\perp)$$(x,-x^\perp)$. Para ver por qué esto tiene sentido, volvemos a la ecuación de $x^2+y^2 = 1^2$ y resolver de manera adecuada, sin supuestos en $y$ más allá de ser un número real y, para satisfacer esta ecuación. Llegamos $$x^2+y^2 = 1^2 \iff y^2=1-x^2 \iff y \in \pm \sqrt{1-x^2} \iff y \in \pm x^\perp.$$
Parece tener sentido.
Tengo el estudiante para calcular un par de ejemplos:
$$0^\perp = 1, \qquad \left(\frac{1}{2}\right)^\perp = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^\perp = \frac{1}{\sqrt{2}}, \qquad \mathrm{etc.} $$
Me explican que esta pares de cada punto en $[0,1]$ con otro punto, tal que el par ordenado $(x,x^\perp)$ es siempre en el círculo unidad en el primer cuadrante. Se discute si es o no $x \mapsto x^\perp$ es una involución. En el dominio $[0,1]$, es. Pero en $[-1,1]$, todo lo que podemos decir es que el ${x^\perp}^\perp = |x|.$
Finalmente, llegamos a la solución de algunas ecuaciones trigonométricas. Con el fin de evitar los números complejos, defino $\mathrm{wrap} \,\theta = (\cos \theta, \sin \theta).$ El estudiante calcula el $\|\mathrm{wrap}\,\theta\|$ y comprueba que esta siempre es $1$. Por lo $\mathrm{wrap}$ tierras con nosotros en el círculo unitario; se "ajusta" la línea real alrededor del círculo. Finalmente tratamos de resolver algunas ecuaciones trigonométricas. Procedemos así:
TFAE
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
$\mathrm{wrap}\, \theta = \left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \vee \mathrm{wrap} \,\theta = \left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$\left(\theta \in \frac{\pi}{3}+2\pi \mathbb{Z}\right) \vee \left(\theta \in \frac{5\pi}{3}+2\pi \mathbb{Z}\right)$
$\theta \in \left(\frac{\pi}{3}+2\pi \mathbb{Z}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{3}+2\pi \mathbb{Z}\right)$
Creo que a los alumnos a apreciar este tipo de razonamiento, porque les ayuda a entender por qué hay dos familias de soluciones para cada uno de estos problemas.
Para los estudiantes más avanzados, usted puede mostrar cosas como:
$$(\cos\theta)^\perp = |\sin \theta|, \qquad (\sin\theta)^\perp = |\cos \theta|$$
$$\cos (\mathrm{arcsin}(x)) = \sin (\mathrm{arccos}(x)) = x^\perp$$
$$\frac{d}{dx} \mathrm{arcsin}(x) = \frac{1}{x^\perp}, \qquad \frac{d}{dx} \mathrm{arccos}(x) = -\frac{1}{x^\perp}, \quad \frac{d}{dx} \mathrm{arcsec} = \frac{1}{|x|x^\perp}$$
Etc.
También puede darles un poco de reto los problemas relacionados con la geometría del círculo. Por ejemplo, pídales que se conjetura un valor de $\int_{x=-1}^1 x^\perp$.
