Riesgo de extinción de Schrödinger ' gatos de s

Question

Estoy interesado en cómo la incertidumbre puede explicarse al considerar que el riesgo de extinción de una especie. Perdóname por ampliar un poco cansado experimento de pensamiento, pero al menos es un territorio familiar y espero que ilustra lo que estoy tratando de entender.

Digamos que de Schrödinger no estaba satisfecho con matar y no matar solo un gato, así que salió y se recogen los últimos 15 restantes del Himalaya de Nieve de los Gatos. Él ha puesto a cada uno en una caja con un frasco de veneno, un martillo y un gatillo dispositivo para soltar el martillo. Cada accionamiento del dispositivo se conoce la probabilidad de soltar el martillo dentro de una hora determinada, y el veneno se llevará a 5 horas para matar a un gato (las cosas se pusieron un poco trippy cuando se utiliza la desintegración radiactiva, así que esta vez se dirige claramente de la mecánica cuántica). Después de una hora, Schrödinger recibe un aviso por parte de la junta de ética de la que le dice que es una locura y que le ordenaba la liberación de los gatos de inmediato. Empuja un botón que abre un gato-solapa en la parte posterior de cada cuadro, por lo tanto la liberación de todos ellos en la naturaleza. Por el momento la sociedad protectora de animales active las casillas de verificación, todos los gatos tienen atornilladas. Antes de que nadie puede detenerlo, Schrödinger detona el resto de los factores desencadenantes, así que nadie sabe cómo muchos de los gatos que fueron envenenados.

La probabilidad de que cada uno de los gatos envenenados es como sigue:

1. 0.17
2. 0.46
3. 0.62
4. 0.08
5. 0.40
6. 0.76
7. 0.03
8. 0.47
9. 0.53
10. 0.32
11. 0.21
12. 0.85
13. 0.31
14. 0.38
15. 0.69

Después de 5 horas han transcurrido y todos envenenado gatos han muerto, ¿cuál es la probabilidad de que existen:

• (A) Más de 10 Himalaya Nieve-los Gatos todavía vivo
• (B) 10 o menos sigue vivo
• (C) 5 o menos sigue vivo
• (D) de 2 o menos sigue vivo

Answer 1

No está claro cuál es el "riesgo de extinción categoría" significa, pero parece que la pregunta se le pide calcular la distribución de la suma de 15 independiente binomio variables de haber dado las expectativas. Esta es una convolución y se hace de manera más eficiente con la transformada Rápida de Fourier.

Aquí hay un ejemplo R, cuyas convolve función utiliza la FFT:

x <- c(0.17,0.46,0.62,0.08,0.40,0.76,0.03,0.47,0.53,0.32,0.21,0.85,0.31,0.38,0.69)
z <- 1
for (u in sort(x)) z <- convolve(z, c(u, 1-u), type="open")
z

[1] 5.826 e-05 1.069 e-03 8.233 e-03 3.566 e-02 9.775 e-02 1.805 e-01 2.324 e-01 2.128 e-01

[9] 1.395 e-01 6.520 e-02 2.142 e-02 4.800 e-03 6.979 e-04 6.039 e-05 2.647 e-06 4.091 e-08

Como un cheque en Mathematica los mismos resultados se obtuvieron con

Product[1 - z + z t, {z, x}] // Expand

$4.091095\times 10^{-8} t^{15}+2.647052\times 10^{-6} t^{14}+\cdots+0.0010688 t+0.0000582614$

Ahora, por ejemplo, la posibilidad de $10$ o menos de las intoxicaciones se calcula en R como

sum(z[1:11])

[1] 0.9944

Editar

El uso de R's convolve función es ineficiente para grandes problemas, debido a que en repetidas ocasiones se realiza una FFT y su inversa. Resulta que el algoritmo directo para la convolución--como se describe por StasK--es un montón lo suficientemente rápido. Aquí está una R de ejecución.

convolve.binomial <- function(p) {
  # p is a vector of probabilities of Bernoulli distributions.
  # The convolution of these distributions is returned as a vector
  # `z` where z[i] is the probability of i-1, i=1, 2, ..., length(p)+1.
  n <- length(p) + 1
  z <- c(1, rep(0, n-1))
  sapply(p, function(q) {z <<- (1-q)*z + q*(c(0, z[-n])); q})
  z
}

Esto se lleva a $O(n^2)$ tiempo para $n$ distribuciones--el cuadrática comportamiento no es bueno, pero sigue siendo bastante rápido. Como ejemplo, vamos a generar 10,000 aleatoria de las probabilidades (en lugar de utilizar 15 dado) y el formulario de la convolución de las correspondientes distribuciones de Bernoulli:

x <- runif(10000)
system.time(y <- convolve.binomial(x))

Esto todavía tarda menos de 3 segundos.

Answer 2

Deje $p_k, k=1, \ldots, K=15$ las probabilidades de supervivencia para el individuo nieve gatos.

1. Inicializar el número de gatos representaban hasta el momento $k \leftarrow 0$, el vector de la binomial probabilidades de supervivencia $(\pi_0^{(0)}, \pi_1^{(0)}, \ldots, \pi_K^{(0)}) \leftarrow (1, 0, \ldots, 0, 0)$
2. Aunque todavía se desconoce el paradero de los gatos, $k \le K$, repita los pasos 3-5:
3. Aumentar el $k \leftarrow k+1$
4. Actualización el 0 resultado (la muerte): $\pi_j^{(k)} \leftarrow \pi_j^{(k-1)} (1-p_k), j=0, \ldots, K$
5. Actualización de la 1 resultado (supervivencia): $\pi_{j+1}^{(k)} \leftarrow \pi_{j+1}^{(k)} + \pi_j^{(k-1)} p_k, j=0, \ldots, K$

Probablemente yo sea paranoico acerca de la contabilidad de todo, y asegúrese de que mis probabilidades todavía suma de hasta 1 en cada iteración después del paso 5.

Mis resultados son:

4.091e-08  
2.647e-06  
.00006039  
.00069791  
.00479963  
.02141555  
.06519699  
.13945642  
.21276277  
.23238555  
.18045155  
.09775029  
.03565983  
.00823336  
.0010688  
.00005826  

La suma de los tres primeros es la prob de ser en peligro crítico de extinción, en los últimos 5, la prob de preocupación menor, etc.