Primaria definible

Question

Estoy teniendo problemas con los siguientes ejercicios del libro de la Lógica Matemática por H. D. Ebbinghaus, J. Flum, y W. Thomas.

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(a) La relación $<$ ("menos de") es elementarily definible en $(\mathbb{R},+,\cdot ,0)$, yo.e, no hay una fórmula $\varphi \in L_2^{(+,\cdot ,0)}$ tal que para todo $a,b\in \mathbb{R}$, $(\mathbb{R},+,\cdot ,0)\vDash \varphi [a,b]$ iff $a<b$.

(b) La relación $<$ no es elementarily definible en $(\mathbb{R},+,0)$. (Sugerencia: Trabajar con un adecuado automorphism de $(\mathbb{R},+,0)$, yo.e, un isomorfismo de $(\mathbb{R},+,0)$ sobre sí mismo.)

Es la primera vez que veo el término "elementarily definible". Todavía era capaz de resolver (a):

$$\varphi \text{:=}\exists _x\left(x\neq 0\land v_0+x^2=v_1\right)$$

Pero no he sido capaz de resolver (b). Gracias.

Answer 1

Dio un poco más y me di cuenta.

Considerar el automorphism $\pi (x)=-x$ (esto no sería un automorfismo si hubiera multiplicación). Si $<$ elemental definible y originalmente implica que $a<b$, que es una contradicción, ya que implica de $\pi (a)<\pi (b)$ $a<b$ $-b<-a$, entonces el lema de isomorfismo.